空間の回転行列

回転

　空間xyz座標での，各軸のまわりの回転は平面の回転の簡単な拡張である．回転前のベクトルの座標を (x, y, z)，回転後のベクトルの座標を (x', y', z') とする．


　z軸のまわりの回転ではz軸方向には変化しないので， z'=z である．座標軸を固定してベクトルを動かす，能動的回転の回転行列は平面の場合には「平面の回転行列 2」の(1)式であったから


\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y ' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{1} \label{1} \end{align}


となる．


　x軸のまわりの回転は \eqref{1} で z\to x,\ x\to y,\ y\to z および z'\to x',\ x'\to y',\ y'\to z' とすればよい．


\begin{align} \begin{pmatrix} y' \\ z ' \\ x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} y \\ z \\ x \end{pmatrix} \end{align}


並べかえると


\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y ' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{2} \label{2} \end{align}


になる．y軸のまわりの回転は \eqref{2} に対して z\to x,\ x\to y,\ y\to z および z'\to x',\ x'\to y',\ y'\to z' とする．結果は


\begin{align} \begin{pmatrix} x' \\ y ' \\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{3} \label{3} \end{align}


である．