ロドリゲスの回転公式（回転行列による説明その2）

前回でてきた指数関数

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \theta) = e^{-i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta} \end{align}$

を展開する．

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \theta) = I - i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta + \frac{(-i)^2}{2!}(\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})^2 \theta^2 + \frac{(-i)^3}{3!}(\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})^3 \theta+ \cdots \end{align}$

この中の $(\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})^k$ を計算するため，座標を数字で表し $x=x_1,\ y=x_2,\ z=x_3$ として $L_x=L_1,\ n_x=n_1$ などと表すことにする．このとき $L_k$ の行列成分を $(L_k)_{ij}$ と書くと

$\begin{align} (L_k)_{ij} = -i \epsilon_{ijk} \end{align}$

$\begin{align} \epsilon_{123}=\epsilon_{231}=\epsilon_{312}=1,\ \ \epsilon_{132}=\epsilon_{321}=\epsilon_{213}=-1,\ \ \epsilon_{ijk}=0\ (その他) \end{align}$

であり，

$\begin{align} [L_i, L_j] \equiv L_i L_j - L_j L_i = i \epsilon_{ijk} L_k \tag{1} \label{1} \end{align}$

となる．一つの項に2個の同じ添え字があったらその添え字について1から3まで和を取ることにする．すなわち\eqref{1}は $k$ について和を取る．これから

$\begin{align} (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{ij} &= -i\epsilon_{ijk}\ n_k \\\\ (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^2_{ij} &= -(\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{il} (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{lj} =- \epsilon_{ilk}\ n_k\ \epsilon_{ljm}\ n_m = n_k\ n_m\ \epsilon_{ikl}\ \epsilon_{ljm} \\\\ &= n_k\ n_m (\delta_{ij}\ \delta_{km}-\delta_{im}\ \delta_{jk}) = \delta_{ij} - n_i\ n_j \\\\ (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^3_{ij} &= (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^2_{il} (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{lj} = -i ( \delta_{il} - n_i\ n_l)\ \epsilon_{ljk}\ n_k = -i\epsilon_{ijk}\ n_k = (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{ij} \\\\ (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^4_{ij} &= (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^3_{il} (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})_{lj} = (\mathbf{L}\cdot \mathbf{n})^2_{ij} = \delta_{ij} - n_i \ n_j \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} [e^{-i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta}]_{ij} &= \delta_{ij} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i)^{2k-1}}{(2k-1)!} (\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})^{2k-1}_{ij}\theta^{2k-1} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i)^{2k}}{(2k)!} (\mathbf{L}\cdot\mathbf{n})^{2k}_{ij}\theta^{2k} \\\\ &= \delta_{ij} - i\epsilon_{ijk}\ n_k \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i)^{2k-1}}{(2k-1)!} \theta^{2k-1} + (\delta_{ij} - n_i \ n_j) \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i)^{2k}}{(2k)!} \theta^{2k} \\\\ &= n_i\ n_j - i\epsilon_{ijk}\ n_k \sum_{k=1}^\infty \frac{(-i)^{2k-1}}{(2k-1)!} \theta^{2k-1} + (\delta_{ij} - n_i\ n_j) \sum_{k=0}^\infty \frac{(-i)^{2k}}{(2k)!} \theta^{2k} \\\\ &= n_i\ n_j -\epsilon_{ijk}\ n_k \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{(2k-1)!} \theta^{2k-1} + (\delta_{ij} - n_i\ n_j) \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k}}{(2k)!} \theta^{2k} \\\\ &= n_i\ n_j -\epsilon_{ijk}\ n_k\ \sin\theta + (\delta_{ij}-n_i\ n_j)\cos\theta \end{align}$

となる．3番目の等式で $k$ についての和に注意．単位ベクトル $\mathbf{e}_i$ で表すと

$\begin{align} n_i\ n_j &= (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_j) \\\\ \delta_{ij} &= \mathbf{e}_i \cdot\mathbf{e}_j \end{align}$

であり，スカラー三重積は

$\begin{align} (\mathbf{n}\times \mathbf{e}_i) \cdot\mathbf{e}_j = n_k (\mathbf{e}_k\times\mathbf{e}_i)\cdot\mathbf{e}_j = n_k\ \epsilon_{kij} = n_k\ \epsilon_{ijk} \end{align}$

であるから

$\begin{align} R(\mathbf{n}, \theta) &=[e^{-i\mathbf{L}\cdot\mathbf{n} \theta}]_{ij} \\\\ &= (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_j) + [ \mathbf{e}_i \cdot\mathbf{e}_j - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{e}_j) ] \cos\theta - (\mathbf{n}\times \mathbf{e}_i) \cdot\mathbf{e}_j \sin\theta \end{align}$

すなわち

$\begin{align} r'_i &= [R(\mathbf{n}, \theta)]_{ij}\ r_j \\\\ &= (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r} ) + [ \mathbf{e}_i \cdot\mathbf{r} - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}) ] \cos\theta - (\mathbf{n}\times \mathbf{e}_i) \cdot\mathbf{r} \sin\theta \\\\ &= (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r} ) + [ \mathbf{e}_i \cdot\mathbf{r} - (\mathbf{n}\cdot\mathbf{e}_i)(\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}) ] \cos\theta - (\mathbf{r}\times \mathbf{n})\cdot\mathbf{e}_i \sin\theta \ \end{align}$

となるので，これをベクトルで表せば

$\begin{align} \mathbf{r}' &= (\mathbf{n}\cdot \mathbf{r} )\mathbf{n} + [ \mathbf{r} - (\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}) \mathbf{n}] \cos\theta - (\mathbf{r}\times \mathbf{n}) \sin\theta \\\\ &= (\mathbf{r}\cdot \mathbf{n} )\mathbf{n} + [ \mathbf{r} - (\mathbf{n}\cdot \mathbf{r}) \mathbf{n}] \cos\theta + (\mathbf{n}\times \mathbf{r}) \sin\theta \end{align}$

となり，ロドリゲスの回転公式を得る．