最後に の場合．これは前回の とほぼ同じで，積分表示の(1)式を複素積分にし，図のような長方形の経路に沿って一周する． 結果は になる．これはNISTのDLMF 13.7.2式と同じである． まとめると になる．ストークス現象により偏角によって展開が異なる．

今度は の場合． 積分表示の(1)式を複素積分にし，図のような長方形の経路に沿って一周する． の大きさによらず長方形の内部で被積分関数は解析的なので，積分は0になる． 上で , 上で ， 上で と変数変換する．例えば の積分は となる．これより となる．こ…

今回は の場合．前回の(2)式を再掲する． の場合， であるから，\eqref{1}の第1項は第2項に比べて無視できる．第2項の中で と変形すると（ は上昇階乗べき）， になる．

ここで行う漸近展開の方法は次の本による． J. B. Seaborn, "Hypergeometric Functions and Their Applications", Springer (1991). 前回の積分表示で引数を複素数に拡張した から出発する．積分区間を変更して変数変換すると になる．最後の等式で第1項を …

合流型超幾何関数はいくつかの表記がある．前回書いた はクンマー関数と言われるもので，他にオルバー関数 がある．DLMFによると， の関係がある．オルバーはDLMFの著者の一人，F.W.J. Olver であろう．さらにホイッテーカー関数 とは の関係がある． さて，…

合流型超幾何微分方程式 の解として を仮定する． より\eqref{1}は となり，変形すると となる． の項が0になる条件（決定方程式）は である．漸化式は で与えられる． の場合，\eqref{2}は となる． は0や負の整数ではないとする． は上昇階乗べきである．…

2階微分方程式 に存在する特異点 確定特異点： で の少なくとも一方が発散し，かつ がどちらも有限のとき， は確定特異点である． 真性（不確定）特異点： の少なくとも一方が で発散するとき， は真性（不確定）特異点である． 無限遠での特異性をみるには…

合流型超幾何関数の漸近展開を調べていたのだが，数学の本を見ると複素平面上に複雑な経路を取って積分している．厳密性を欠いても，もう少し簡単に導出する方法がないか探していたところ，何となく見つかったのでメモしておきたい．とりあえずは準備から． …

量子力学のブロッホの定理をいまひとつ理解できていない。ポテンシャルが周期的で のとき，平行移動の演算子 はハミルトニアンと交換する． はユニタリーであるから固有値の絶対値は1であり，実数 を使って となるので となる．猪木-川合「量子力学I」ではこ…

量子力学の散乱にレビンソンの定理というものがある．レビンソンの論文は N. Levinson, Kgl. Danske. Vid. Sels. Mat-fys 25 No.9 (1949) というもので，これがどういう学術誌なのかさっぱりわからなかったのだが，最近ようやくここに論文が公表されているこ…

部分波展開の公式についてのメモ レイリーの公式 証明 砂川重信，「散乱の量子論」岩波書店 (1977) P248 猪木慶治，川合光，「量子力学 II」講談社サイエンティフィク (1994) P443 球面波型関数の展開公式 証明 砂川重信，「散乱の量子論」岩波書店 (1977) P…