合流型超幾何関数その1 （上昇階乗べき）

　合流型超幾何関数の漸近展開を調べていたのだが，数学の本を見ると複素平面上に複雑な経路を取って積分している．厳密性を欠いても，もう少し簡単に導出する方法がないか探していたところ，何となく見つかったのでメモしておきたい．とりあえずは準備から．

　上昇階乗べきはしばしば特殊関数を表すのに使われている．定義は

$\begin{align} (a)_0 &\equiv 1 \\\\ (a)_n &\equiv a(a+1)(a+2)\cdots(a+n-1) \end{align}$

である． $(a)_n$ はポッホハマーの記号と呼ばれているが，他の表現法もある．ここでの表記はNISTのDLMFのものである．ガンマ関数

$\begin{align} \Gamma(a)=(a-1)! \end{align}$

を使うと

$\begin{align} (a)_n = \frac{(a+n-1)!}{(a-1)!} = \frac{\Gamma(a+n)}{\Gamma(a)} \end{align}$

である．引数が負の場合

$\begin{align} (-a)_n &= (-a)(-a+1)\cdots(-a+n-1) \\\\ &=(-1)^n a (a-1)(a-2)\cdots(a-n+1) \\\\ &= (-1)^n (a-n+1)_n \end{align}$

という関係がある．二項係数との関係は

$\begin{align} \begin{pmatrix} a \\ n\end{pmatrix} &= \frac{a!}{n! (a-n)!} =\frac{1}{n!}a(a-1)(a-2)\cdots(a-n+1) \\\\ &= \frac{ (a-n+1)_n}{n!} \end{align}$

である．