球面ベッセル関数 - 河漢の戯言

　NISTのDLMFによると，第1種，第2種球面ベッセル関数は

$\begin{align} j_n(x) = (-x)^n \left( \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\sin x}{x} \tag{1} \label{1} \end{align}$

$\begin{align} y_n(x) = -(-x)^n \left( \frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^n \frac{\cos x}{x} \end{align} \tag{2} \label{2}$

であり，特に $n=0$ では

$\begin{align} j_0(x)=\frac{\sin x}{x},\quad y_0(x)=-\frac{\cos x}{x} \end{align}$

である．過去に $y_n(x)$ は $n_n(x)$ と書いて球面ノイマン関数と言っていた．球面ノイマン関数という名称はいずれ使われなくなるかもしれない． $y_n(x)$ は，ここでの定義と符号が逆の本があるらしいが，J. J. サクライ，猪木-河合，シッフ，Griffiths-Schroeter の量子力学ではみな\eqref{2}の定義である．さらに第3種球面ベッセル関数

$\begin{align} h_n^{(1)}(x) = j_n(x) + i y_n(x),\quad h_n^{(2)}(x)=j_n(x) - i y_n(x) \end{align}$

は過去に球面ハンケル関数と言っていた．