合流型超幾何関数その7 （漸近展開3）

　今度は $z=i |z|$ の場合．

　積分表示の(1)式を複素積分にし，図のような長方形の経路に沿って一周する．

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$h(>0)$ の大きさによらず長方形の内部で被積分関数は解析的なので，積分は0になる．

$\begin{align} \int_0^1 dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} = -\int_{C_2+C_3+C_4}dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} \end{align}$

$C_4$ 上で $t=is$ , $C_3$ 上で $t=s+ih$ ， $C_2$ 上で $t=1+is$ と変数変換する．例えば $C_4$ の積分は

$\begin{align} -\int_{C_4} dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} &= \int_0^{ih} dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} \\\\ &= i^a \int_0^h ds\, e^{-s|z|} s^{a-1} (1-is)^{b-a-1} \end{align}$

となる．これより

$\begin{align} \int_0^1 dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} &= i^a \int_0^h ds\, e^{-s|z|} s^{a-1}(1-is)^{b-a-1} \\\\ &\ + e^{-h|z|}\int_0^1 ds\, e^{is|z|} (s+ih)^{a-1} (1-s-ih)^{b-a-1} \\\\ &\ + e^z (-i)^{b-a} \int_0^h ds e^{-s|z|} (1+is)^{a-1} s^{b-a-1} \end{align}$

となる．ここで， $i^a=e^{i\pi a/2}, (-i)^{b-a}=e^{i\pi(a-b)/2}$ と表す． $h\to\infty$ では，
右辺第2項は $e^{-h|z|}$ 因子によって0になる．残りの項を $u=s|z|=-isz$ と変数変換すると

$\begin{align} \int_0^1 dt\, e^{tz}t^{a-1}(1-t)^{b-a-1} &= \frac{e^{i\pi a/2}}{|z|^a} \int_0^\infty du\, e^{-u} u^{a-1} \left(1+\frac{u}{z}\right)^{b-a-1} \\\\ &\ + e^z \frac{e^{i\pi(a-b)/2}}{|z|^{b-a}} \int_0^\infty du\, e^{-u} \left(1-\frac{u}{z}\right)^{a-1} u^{b-a-1} \tag{1} \label{1} \end{align}$

となる．前回までと同様に上昇階乗べきを使って

$\begin{align} \left(1+\frac{u}{z}\right)^{b-a-1} &= \sum_{j=0}^\infty \begin{pmatrix} b-a-1 \\ j \end{pmatrix} \frac{u^j}{z^j} \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(b-a-j)_j}{j! z^j} u^j \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(a-b+1)_j (-1)^j}{j! z^j} u^j \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(a-b+1)_j}{j! } (-z)^{-j} u^j \end{align}$

$\begin{align} \left(1-\frac{u}{z}\right)^{a-1} &= \sum_{j=0}^\infty \frac{ (1-a)_j}{j! }z^{-j} u^j \end{align}$

であるから，これらを\eqref{1}に代入して

$\begin{align} M(a, b, z) &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \bigg[ \frac{e^{z-i\pi(b-a)/2}}{|z|^{b-a}} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j}{j! }z^{-j} \Gamma(b+j-a) \\\\ &\quad + \frac{e^{i\pi a/2}}{|z|^a} \sum_{j=0}^\infty \frac{(a-b+1)_j}{j!} (-z)^{-j} \Gamma(a+j)\bigg] \\\\ &= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)} e^z z^{a-b} \sum_{j=0}^\infty \frac{(1-a)_j (b-a)_j}{j!} z^{-j} \\\\ &\ + \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(b-a)} e^{i\pi a}z^{-a} \sum_{j=0}^\infty \frac{(a)_j (a-b+1)_j}{j!} (-z)^{-j} \tag{2} \label{2} \end{align}$

を得る．これはNISTのDLMF 13.7.2式と同じである（13.7.1と同様， $\Gamma(b)$ をかけると $M(a, b, z)$ になる．）．