合流型超幾何関数その4 （積分表示）

　合流型超幾何関数はいくつかの表記がある．前回書いた $M(a, b, x)$ はクンマー関数と言われるもので，他にオルバー関数 $\mathbf{M}(a, b, x)$ がある．DLMFによると，

$\begin{align} M(a, b, x)=\Gamma(b) \mathbf{M}(a,b,x) \end{align}$

の関係がある．オルバーはDLMFの著者の一人，F.W.J. Olver であろう．さらにホイッテーカー関数 $M_{\kappa, \mu}(x)$ とは

$\begin{align} M_{\kappa, \mu}(x)=e^{-x/2} x^{1/2+\mu} M(1/2+\mu-\kappa,1+2\mu,x) \end{align}$

の関係がある．

　さて， $\mathrm{Re}\,b>\mathrm{Re}\,a>0$ に対して合流型超幾何関数（クンマー関数）は

$\begin{align} M(a, b, x)= \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \int_0^1 dt\, e^{xt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1} \tag{1} \label{1} \end{align}$

と表せる．証明は，右辺が合流型超幾何関数の展開式に一致することを示せばよい．まず積分内の指数関数を展開する．

$\begin{align} \int_0^1 dt\, e^{xt} t^{a-1} (1-t)^{b-a-1} = \sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} \int_0^1 dt\, t^{j+a-1} (1-t)^{b-a-1} \end{align}$

$\mathrm{Re}\,b>\mathrm{Re}\,a>0$ の場合，ベータ関数を使って

$\begin{align} \int_0^1 dt\, t^{j+a-1} (1-t)^{b-a-1} = B(j+a, b-a) = \frac{\Gamma(j+a)\Gamma(b-a)}{\Gamma(j+c)} \end{align}$

であるから

$\begin{align} \frac{\Gamma(b)}{\Gamma(a)\Gamma(b-a)} \sum_{j=0}^\infty \frac{x^j}{j!} \frac{\Gamma(j+a)\Gamma(b-a)}{\Gamma(j+b)} &= \sum_{j=0}^\infty \frac{\Gamma(b)\Gamma(j+a)}{\Gamma(a)\Gamma(j+b) j!} x^j \end{align}$

これは前回に書いた，合流型超幾何関数の展開式であるから，\eqref{1}式を得る．

　 $x$ を複素数 $z$ ， $t$ を複素積分にすることで $\mathrm{Re}\,b>\mathrm{Re}\,a>0$ より広い範囲で定義できる．