合流型超幾何関数その3 （微分方程式の解）

$\begin{align} xy''+ (b-x) y'-ay=0 \tag{1} \label{1} \end{align}$

の解として

$\begin{align} y(x)=x^s \sum_{j=0}^\infty a_j x^j\quad (a_0\neq 0) \end{align}$

を仮定する．

$\begin{align} y' &= x^s \sum_{j=0}^\infty a_j (s+j) x^{j-1} \\ y'' &= x^s \sum_{j=0}^\infty a_j (s+j)(s+j-1) x^{j-2} \end{align}$

より\eqref{1}は

$\begin{align} x^{s+1} &\ \sum_{j=0}^\infty a_j (s+j)(s+j-1) x^{j-2} \\\\ &+ (b-x) x^s \sum_{j=0}^\infty a_j (s+j) x^{j-1} -a x^s \sum_{j=0}^\infty a_j x^j=0 \end{align}$

となり，変形すると

$\begin{align} a_0 &\ s(s-1+c)x^{s-1} \\\\&+ \sum_{j=1}^\infty \left[ a_j (s+j)(s+j-1+b)-a_{j-1}(s+j-1+a)\right] x^{s+j-1} =0 \end{align}$

となる． $x^{s-1}$ の項が0になる条件（決定方程式）は

$\begin{align} a_0s(s-1+b)=0,\qquad s=0, 1-b \end{align}$

である．漸化式は

$\begin{align} a_j = \frac{s+j-1+a}{(s+j)(s+j-1+b)} a_{j-1},\quad (j=1,2,\cdots) \tag{2} \label{2} \end{align}$

で与えられる．

　 $s=0$ の場合，\eqref{2}は

$\begin{align} a_j = \frac{j+a-1}{j(j+b-1)} a_{j-1} \end{align}$

$\begin{align} a_j = \frac{a(a+1)\cdots(a+j-1)}{ j! b (b+1)\cdots(b+j-1)} a_0 = \frac{(a)_j}{j! (b)_j} a_0 \end{align}$

となる． $b$ は0や負の整数ではないとする． $(a)_j$ は上昇階乗べきである．これより

$\begin{align} y(x)= a_0 M(a, b, x) \tag{3} \label{3} \end{align}$

と書ける． $M(a, b, x)$ は合流型超幾何関数（クンマー関数）で

$\begin{align} M(a, b, x) &= \sum_{j=0}^\infty \frac{a(a+1)\cdots(a+j-1)}{ j! b (b+1)\cdots(b+j-1)} x^j \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{(a)_j}{(b)_j j!} x^j \\\\ &= \sum_{j=0}^\infty \frac{ \Gamma(a+j) \Gamma(b) x^j} {\Gamma(a) \Gamma(b+j) j! } \end{align}$