2026-04-26

テンソルの分解

任意の対称テンソル $S^{\mu\nu}$ は，特別に決めたベクトル $u^\mu\ \ (u^\mu u_\mu\neq 0)$ を使って

$\begin{align} S^{\mu\nu} = \rho u^\mu u^\nu + q^\mu u^\nu + q^\nu u^\mu + \tau^{\mu\nu} \end{align}$

ただし，

$\begin{align} q^\mu u_\mu=0,\ \ \ \tau^{\mu\nu} u_\mu = 0,\ \ \ \tau^{\mu\nu} u_\nu=0 \end{align}$

と一意に分解できる． $\tau^{\mu\nu}$ は $u^\mu$ を含まない対称テンソルである．すなわち， $u^\mu$ を2個含む項，1個含む項，0個含む項というように $S^{\mu\nu}$ を分解し，それぞれが $\mu, \nu$ について対称になるように項を整えればよい． $\tau^{\mu\nu}$ はさらにトレースゼロ部分とそれ以外とに分解することもある．

4次元の場合， $q^\mu$ は4成分あるが拘束条件 $q^\mu u_\mu=0$ があるので3自由度である．同様に $\tau^{\mu\nu}$ は10成分あるが，各 $\nu$ についての拘束条件 $\tau^{\mu\nu} u_\mu=0$ によって4自由度減り，6自由度になる．したがって $\rho$ の1自由度と合わせて $1+3+6=10$ となり，もとの対称テンソルの自由度と一致する．

　同様に，任意の反対称テンソル $A^{\mu\nu}$ は，特別に決めたベクトル $u^\mu$ を使って

$\begin{align} A^{\mu\nu} = a^\mu u^\nu - a^\nu u^\mu + \sigma^{\mu\nu} \end{align}$

に分解できる．この場合には $u^\mu u^\nu$ 項は $A^{\mu\nu}$ の反対称性により禁止される．4次元では $A^{\mu\nu}$ は6成分もち， $a^\mu$ は $a^\mu u_\mu=0$ により3自由度をもつので $\sigma^{\mu\nu}$ が残りの3自由度をもつことになる．3自由度なら $b^\mu u_\mu=0$ を満たす， $a^\mu$ とは異なるベクトル $b^\mu$ でも表現できるので， $\mu, \nu$ の反対称性を維持しつつ， $b^\mu$ で表そうとすると

$\begin{align} \sigma^{\mu\nu} = \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} u_\alpha b_\beta \end{align}$

という形になる．すなわち

$\begin{align} A^{\mu\nu} = a^\mu u^\nu - a^\nu u^\mu + \varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} u_\alpha b_\beta \end{align}$

となる．ここで $a^\mu u_\mu=b^\mu u_\mu=0$ である．逆に $a^\mu, b^\mu$ は

$\begin{align} a^\mu=A^{\mu\nu} u_\nu,\ \ b^\mu=\frac{1}{2}\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta} u_\nu A_{\alpha\beta} \end{align}$

と表せる．これらを微分形式で書くと， $A=\frac{1}{2}A_{\mu\nu}dx^\mu\wedge dx^\nu,\ u=u_\mu dx^\mu$ などとして

$\begin{align} A= u\wedge a + *(u\wedge b),\ \ a=i_u A,\ \ b=i_u(*A) \end{align}$

と書け， $i_u a=i_u b=0$ を満たす．

2026-04-02

ランダウ-リフシッツエネルギー・運動量擬テンソルその3

ランダウ-リフシッツエネルギー・運動量擬テンソル

$\begin{align} t^{\mu\nu} = \frac{1}{16\pi} \partial_\alpha \partial_\beta [(-g)(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta})]-\frac{1}{8\pi}G^{\mu\nu} \tag{1} \end{align}$

は，

$\begin{align} t^{\mu\nu} &= \frac{1}{16\pi}\big[ (2\Gamma^\alpha_{\ \lambda\rho} \Gamma^\beta_{\ \alpha\beta} -\Gamma^\alpha_{\ \lambda\beta}\Gamma^\beta_{\ \rho\alpha} -\Gamma^\alpha_{\ \lambda\alpha}\Gamma^\beta_{\ \rho\beta}) (g^{\mu\lambda} g^{\nu\rho}-g^{\mu\nu}g^{\lambda\rho}) \\\\ &\ +g^{\mu\lambda} g^{\alpha\beta} ( \Gamma^\nu_{\ \lambda\rho} \Gamma^\rho_{\ \alpha\beta} +\Gamma^\nu_{\ \alpha\beta} \Gamma^\rho_{\ \lambda\rho} -\Gamma^\nu_{\ \beta\rho} \Gamma^\rho_{\ \lambda\alpha} -\Gamma^\nu_{\ \lambda\alpha} \Gamma^\rho_{\ \beta\rho}) \\\\ &\ +g^{\nu\lambda} g^{\alpha\beta} ( \Gamma^\mu_{\ \lambda\rho} \Gamma^\rho_{\ \alpha\beta} +\Gamma^\mu_{\ \alpha\beta} \Gamma^\rho_{\ \lambda\rho} -\Gamma^\mu_{\ \beta\rho} \Gamma^\rho_{\ \lambda\alpha} -\Gamma^\mu_{\ \lambda\alpha} \Gamma^\rho_{\ \beta\rho}) \\\\ &\ +g^{\lambda\alpha}g^{\rho\beta}( \Gamma^\mu_{\ \lambda\beta} \Gamma^\nu_{\ \rho\alpha} -\Gamma^\mu_{\ \lambda\alpha} \Gamma^\nu_{\ \rho\beta})\big] \tag{2} \end{align}$

となることを前回までに確かめた．場の古典論にはもう一つ，(1)は次のようにも変形できると書いてある．

$\begin{align} t^{\mu\nu} &=\frac{1}{16\pi(-g)} \big[ \partial_{\lambda}\mathfrak{g}^{\mu\nu}\partial_{\alpha}\mathfrak{g}^{\lambda\alpha}-\partial_{\lambda}\mathfrak{g}^{\mu\lambda}\partial_{\alpha}\mathfrak{g}^{\nu\alpha} +\frac{1}{2}g^{\mu\nu} g_{\alpha\lambda} \partial_{\rho}\mathfrak{g}^{\lambda\beta}\partial_{\beta}\mathfrak{g}^{\rho\alpha} \\\\ &\ -\left(g^{\mu\lambda}g_{\alpha\beta}\partial_{\rho}\mathfrak{g}^{\nu\beta}\partial_{\lambda}\mathfrak{g}^{\alpha\rho} +g^{\nu\lambda}g_{\alpha\beta}\partial_{\rho}\mathfrak{g}^{\mu\beta}\partial_{\lambda}\mathfrak{g}^{\alpha\rho}\right) +g_{\lambda\alpha}g^{\beta\rho}\partial_{\beta}\mathfrak{g}^{\mu\lambda}\partial_{\rho}\mathfrak{g}^{\nu\alpha} \\\\ &\ +\,\frac{1}{8}(2g^{\mu\lambda}g^{\nu\alpha}-g^{\mu\nu}g^{\lambda\alpha})(2g_{\beta\rho}g_{\sigma\tau}-g_{\rho\sigma}g_{\beta\tau})\partial_{\lambda}\mathfrak{g}^{\beta\tau}\partial_{\alpha}\mathfrak{g}^{\rho\sigma} \big] \tag{3} \end{align}$

フォントが似ていてわかりにくいが， $g$ と $\mathfrak{g}$ があり， $g_{\mu\nu}$ は計量， $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ は

$\begin{align} \mathfrak{g}^{\mu\nu} = \sqrt{-g} g^{\mu\nu} \tag{4} \end{align}$

である．今回は xTensor を使って(3)も確かめてみる．これは以下のサイトを参考にした．

https://lantonov.tripod.com/Landau-Lifshitz_pseudotensor.html

　計算の流れとしては，(2)を計量の微分で表し，計量の微分を $\mathfrak{g}$ の微分に直す．

　xTensor の起動と初期設定は前回と同じなので省略する．出発点は(2)式なので，これを読み込ませる．

ここで係数 $1/16\pi$ は省略した．

　クリストッフェル記号を計量の微分に直すコマンドは ChristoffelToGradMetric である．

この式の $\partial g$ を $\partial \mathfrak{g}$ に直していきたいのであるが，ここで少し手計算をする．

$\begin{align} g_{\mu\nu}\partial_\rho \mathfrak{g}^{\mu\nu} &= g_{\mu\nu}\partial_\rho(\sqrt{-g})g^{\mu\nu} +\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\partial_\rho g^{\mu\nu} \\\\ &= 2\sqrt{-g} g^{\mu\nu}\partial_\rho g_{\mu\nu} - \sqrt{-g}g^{\mu\nu}\partial_\rho g_{\mu\nu} \\\\ &= \sqrt{-g} g^{\mu\nu}\partial_\rho g_{\mu\nu} \tag{5} \end{align}$

と

$\begin{align} g_{\mu\nu}\partial_\rho \mathfrak{g}^{\mu\lambda} &= g_{\mu\nu}\partial_\rho(\sqrt{-g})g^{\mu\lambda} +\sqrt{-g}g_{\mu\nu}\partial_\rho g^{\mu\lambda} \\\\ &=\frac12\sqrt{-g} \delta^\lambda_\nu g^{\alpha\beta}\partial_\rho g_{\alpha\beta} -\sqrt{-g}g_{\mu\nu} g^{\alpha\mu}g^{\beta\lambda}\partial_\rho g_{\alpha\beta} \\\\ &= \frac12\sqrt{-g} \delta^\lambda_\nu g^{\alpha\beta}\partial_\rho g_{\alpha\beta} -\sqrt{-g} g^{\beta\lambda}\partial_\rho g_{\beta\nu} \tag{6} \end{align}$

を逆に解くと，

$\begin{align} g^{\mu\nu} \partial_\rho g_{\mu\nu} = \frac{1}{\sqrt{-g}}g_{\mu\nu}\partial_\rho \mathfrak{g}^{\mu\nu} \tag{7} \end{align}$

と

$\begin{align} g^{\mu\lambda} \partial_\rho g_{\mu\nu} = \frac{1}{2\sqrt{-g}} \delta^\lambda_\nu g_{\alpha\beta} \partial_\rho \mathfrak{g}^{\alpha\beta}-\frac{1}{\sqrt{-g}} g_{\alpha\nu}\partial_\rho \mathfrak{g}^{\alpha\lambda} \tag{8} \end{align}$

という関係が得られる．この(7)と(8)を使って $\partial g$ を $\partial \mathfrak{g}$ に置き換える．

まず(7)式を使った置き換えをする．

出力結果は省略した． $\mathfrak{g}^{\mu\nu}$ は $f^{\mu\nu}$ と表している．続いて(8)式を使った置き換えをする．結果は全体に $1/(-g)$ 因子がつくので，見やすくするために $(-g)$ をかけている．

これにより，全部で46個の項が出力される．結果は以下のとおり．

これをまとめようとして ToCanonical コマンドを実行すると，自動的にクリストッフェル記号に直してしまい，うまくいかない．単に項をまとめたいだけなのだが，どうすればいいのかわからない．しかたなく手動で項をまとめていくと，全部で10個の項になり，これはたしかに(3)式に一致している．なお， $(-g)$ をかけたことで(3)の分母の $(-g)$ と相殺し，大かっこ内を再現していることがわかる．

　一応計算はできたが最後に面倒な作業が残ってしまったので，この部分を少し工夫する．(7), (8) に基づく置き換えのところで， $\partial\mathfrak{g}$ のかわりに $\nabla \mathfrak{g}$ におきかえる． $\nabla$ は共変微分である．もちろん普通の偏微分が正しいのだが，ToCanonical の自動変換を抑えるための手段である．

これにより ToCanonical がうまく機能し，10個の項にまとめられている．あとは共変微分を普通の微分とみなして，添え字を調整すれば(3)と一致していることがわかる．

2026-03-30

ランダウ-リフシッツエネルギー・運動量擬テンソルその2

　前回に続き，ランダウ-リフシッツエネルギー・運動量擬テンソルのクリストッフェル記号形を導く．

　2階微分を計算するため，Mathematica のアプリである xAct の xTensor を使う．xTensor は無料のテンソル計算用ソフトであるが，Mathematica は有料である．趣味用のパーソナル版であれば永続版で約5万円である．フリーソフトでも同様の計算ができるものがあるかもしれないが，この分野は素人なのでよく知らない．

　Mathematica を起動して，初期設定をおこなう．

やっていることは，空間を4次元にして，計量を $g_{\mu\nu}$ としている．DefMetric を実行すると，計量の行列式を表す関数 Detg[ ] が自動で定義される．

前回の $H^{\mu\nu\alpha\beta}$ を定義する．

行列式はダブルチルダ $\tilde{\tilde{g}}$ で表されている．まず1階微分を行う．

続いて2階微分を行う．

最後に全体を $-g$ で割っている．これは $t^{\mu\nu}$ の定義式にしたがっている．

$\partial g$ をクリストッフェル記号で表すには，GradMetricToChristoffel を使う．ここでは $\partial g$ の2次の項があるので，GradMetricToChristoffel を2回実行する．

これで2階微分の計算ができた．

　次にアインシュタインテンソルの項を計算する．xTensor には EinsteinCD というコマンドがあるが，添え字の制御が難しいので，手動でリッチテンソルを定義する．

ricci でリッチテンソル $R_{\mu\nu}$ を定義し，ricciu は $R^{\mu\nu}$ , riccis はスカラー曲率 $g^{\mu\nu}R$ である．最後にアインシュタインテンソル $G^{\mu\nu}$ をeing で定義している．

　これで2項とも計算できたので，最後にこれらを合わせる．

あとは添え字の位置を調整すれば，因子 $1/16\pi$ を除いて，最終結果

に一致する．その3に続く．

2026-03-29

ランダウ-リフシッツエネルギー・運動量擬テンソルその1

　言わずと知れたランダウ-リフシッツの「場の古典論」に，彼らが提案した重力場のエネルギー・運動量擬テンソルが載っている．擬テンソルと言っているのは，テンソルの変換性を持たないからで，このへんの事情は場の古典論に説明されている．

この式の定義は

$\begin{align} t^{\mu\nu} = \frac{1}{16\pi} \partial_\alpha \partial_\beta [(-g)(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta})]-\frac{1}{8\pi}G^{\mu\nu} \tag{1} \end{align}$

である．ただし $g$ は計量 $g_{\mu\nu}$ の行列式， $G^{\mu\nu}$ はアインシュタインテンソルである．また， $c=G=1$ としている．添え字はラテン文字からギリシア文字に変えている．この式は計量の微分で表されているので，クリストッフェル記号で書くことができる．ランダウ・リフシッツの表現を借りると，「かなり長い計算ののちに」次のように変形できる，とある．

今回はこの式を確かめてみようと思う．ただし，すべて手計算するのはきわめて面倒なので，半分（ほとんど？）ソフトの力を借りることにする．

　まずは(1)式の構造をながめてみる．アインシュタインテンソル $G^{\mu\nu}$ はリッチテンソルで書け，リッチテンソルはクリストッフェル記号で書けるので，この項を書き換えるのはやさしい．問題なのは第1項で，特に2階微分であることがキモである．

　感触をつかむため，1階微分を計算してみる．

$\begin{align} H^{\mu\nu\alpha\beta}=(-g)(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}) \tag{3} \end{align}$

として，

$\begin{align} \partial_{\beta}H^{\mu\nu\alpha\beta} &= (\partial_{\beta}(-g))\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right) + \left(-\,g\right)\partial_{\beta}\left(\,g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right) \\\\ &= (\partial_{\beta}(-g))\left(g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right) \\\\ &\ +\left(-\,g\right)\bigg[(\partial_{\beta}g^{\mu\nu})g^{\alpha\beta}+g^{\mu\nu}(\partial_{\beta}g^{\alpha\beta}) -\left(\partial_{\beta}g^{\mu\alpha}\right)g^{\nu\beta}-g^{\mu\alpha}(\partial_{\beta}g^{\nu\beta})\bigg] \tag{4} \end{align}$

となる．行列式の微分は

$\begin{align} \partial_{\beta}(-g)=(-g)\,g^{\rho\sigma}\partial_{\beta}g_{\rho\sigma} =2(-\,g)\,\Gamma_{\ \lambda\beta}^{\lambda} \tag{5} \end{align}$

と書ける．また， $\partial_\beta (g^{\mu\nu}g_{\nu\rho})=0$ から得られる

$\begin{align} \partial_{\beta}g^{\mu\nu}=\,-g^{\mu\rho}g^{\nu\sigma}\,\partial_{\beta}g_{\rho\sigma} \tag{6} \end{align}$

を使い，さらに関係式

$\begin{align} \Gamma_{\rho\sigma\beta}+\Gamma_{\sigma\rho\beta} = \partial_\beta g_{\rho\sigma} \tag{7} \end{align}$

などを使うと，(4)は

$\begin{align} \partial_{\beta}H^{\mu\nu\alpha\beta} &= (-\,g)\bigg[2\Gamma_{\ \lambda\beta}^{\lambda}\left(\,g^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}-g^{\mu\alpha}g^{\nu\beta}\right) \\\\ &\ -\,g^{\nu\sigma}g^{\alpha\beta}\,\Gamma^{\mu}{}_{\sigma\beta}-g^{\mu\rho}g^{\alpha\beta}\,\Gamma^{\nu}{}_{\rho\beta} -\,g^{\mu\nu}g^{\beta\sigma}\,\Gamma^{\alpha}{}_{\sigma\beta}-g^{\mu\nu}g^{\alpha\rho}\,\Gamma^{\beta}{}_{\rho\beta} \\\\ &\ +\,g^{\alpha\sigma}g^{\nu\beta}\,\Gamma^{\mu}{}_{\sigma\beta}+g^{\mu\rho}g^{\nu\beta}\,\Gamma^{\alpha}{}_{\rho\beta} +g^{\mu\alpha}g^{\beta\sigma}\,\Gamma^{\nu}{}_{\sigma\beta}+g^{\mu\alpha}g^{\nu\rho}\,\Gamma^{\beta}{}_{\rho\beta} \bigg] \tag{7} \end{align}$

となる．この調子でもう一度微分して， $\partial_\alpha g^{\mu\nu}$ をクリストッフェル記号に直していく作業をひたすら続けていけばいいはずであるが，試しに一つの項だけ計算しようとすると想像以上に面倒であることに気づく．

　というわけで次回はソフトを使って続きを計算する．

2025-09-26

マイケルソン・モーリーの実験はもういいのでは

　特殊相対論の本は，いまでも多くがマイケルソン・モーリーの実験を紹介してエーテルが否定されていった歴史を記している．しかしいまやQED（量子電磁力学）の成功をはじめとして，ローレンツ群（ポアンカレ群）の表現としての素粒子の分類，標準模型など，特殊相対論の正しさは疑う余地のないものになっている．もう歴史的経緯は省略して，いきなり光速不変と特殊相対性原理から始めてもいいのではないか．量子力学でも黒体輻射から始める本はかなり減った．

2025-02-19

メビウスの帯のホイットニー和束

メビウスの帯は非自明束だが，そのホイットニー和束は自明束である．その理由を生成AIに聞いてみると，次のような感じの答が返ってきた．

1次元の実直線上で1から-1へ移動するとき，必ず0を通る．これはメビウスの帯が非自明束であることを意味する．

一方，2次元平面で点(1,1)から点(-1,-1)へ移動するとき，原点を通らずに移動できる．これはメビウスの帯のホイットニー和束が自明であることを意味する．

わかったようなわからないような？？

2025-02-15

行列の微分 2

前回に続き，今度は指数関数の微分を行う．

$\begin{align} e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k = I + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}A^k \end{align}$

なので

$\begin{align} (e^A)' &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}(A^k)' \\\\ &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{m=1}^k \frac{1}{k!} A^{m-1} A' A^{k-m} \end{align}$

となる．これ以上は簡単にならないが，和を積分に直すことができる．まず $k$ と $m$ の和を， $p=m-1$ と $q=k-m$ の和に直す．

$\begin{align} (e^A)' &=\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^{\infty} \frac{1}{(p+q+1)!} A^{p} A' A^{q} \end{align}$

と書き直す． $p, q$ は独立なのでどちらも上限は無限大である．ここでベータ関数

$\begin{align} B(p+1, q+1) = \int_0^1 dt\, t^p \, (1-t)^q = \frac{p! q!}{(p+q+1)!} \end{align}$

を使って積分の形にすると

$\begin{align} (e^A)' &=\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^{\infty} \int_0^1 dt\, t^p \, (1-t)^q \frac{1}{p!q!} A^{p} A' A^{q} \\\\ &= \int_0^1 dt\, \sum_{p=0}^\infty \frac{1}{p!}(tA)^p A' \sum_{q=0}^\infty \frac{1}{q!} ((1-t)A)^q \\\\ &= \int_0^1 dt\, e^{tA} A' e^{(1-t)A} \end{align}$

となる． $A$ がリー代数（の表現行列）のとき $e^A$ はリー群の元であり，その微分は物理でも必要になることがある．