行列の微分 2

前回に続き，今度は指数関数の微分を行う．


\begin{align} e^A = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}A^k = I + \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}A^k \end{align}


なので


\begin{align} (e^A)' &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k!}(A^k)' \\\\ &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{m=1}^k \frac{1}{k!} A^{m-1} A' A^{k-m} \end{align}


となる．これ以上は簡単にならないが，和を積分に直すことができる．まず k と m の和を， p=m-1 と q=k-m の和に直す．


\begin{align} (e^A)' &=\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^{\infty} \frac{1}{(p+q+1)!} A^{p} A' A^{q} \end{align}


と書き直す． p, q は独立なのでどちらも上限は無限大である．ここでベータ関数


\begin{align} B(p+1, q+1) = \int_0^1 dt\, t^p \, (1-t)^q = \frac{p! q!}{(p+q+1)!} \end{align}


を使って積分の形にすると


\begin{align} (e^A)' &=\sum_{p=0}^\infty \sum_{q=0}^{\infty} \int_0^1 dt\, t^p \, (1-t)^q \frac{1}{p!q!} A^{p} A' A^{q} \\\\ &= \int_0^1 dt\, \sum_{p=0}^\infty \frac{1}{p!}(tA)^p A' \sum_{q=0}^\infty \frac{1}{q!} ((1-t)A)^q \\\\ &= \int_0^1 dt\, e^{tA} A' e^{(1-t)A} \end{align}


となる． A がリー代数（の表現行列）のとき e^A はリー群の元であり，その微分は物理でも必要になることがある．