行列の微分 1 - 河漢の戯言

　 $x$ が $t$ の関数 $x(t)$ のとき, 導関数を $x'$ で表すと

$\begin{align} (x^2)^\prime = 2x x',\quad (x^{-1})' = -x^{-2} x',\quad (\ln x)'=x^{-1} x',\quad (e^x)'=x' e^x\end{align}$

である. では $x$ が行列 $A$ で，各成分が $t$ の関数であるとき

$\begin{align} (A^2)^\prime = 2A A',\quad (A^{-1})' = -A^{-2} A',\quad (\ln A)'=A^{-1} A',\quad (e^A)'=A' e^A\end{align}$

としてしまいそうだが, 結論からいうとすべて誤りである．誤りの原因は，行列が交換するとは限らないことにある．

$\begin{align} A A' \neq A' A \end{align}$

これに注意して微分を行う．

$\begin{align} (A^2)' &= A'A + AA' \\\\ (A^3)'&=A'A^2+AA'A+A^2A' \\\\ (A^4)' &= A'A^3 + AA'A^2+A^2A'A+A^3A \end{align}$

これから，正の $n$ に対して

$\begin{align} (A^n)' = \sum_{k=1}^{n} A^{k-1} A' A^{n-k} \end{align}$

である（ $A^0=I$ は単位行列）．

次に $(A^{-1})'$ の計算． $AA^{-1}=I$ の両辺を微分する．単位行列の微分はゼロなので

$\begin{align} A' A^{-1}+A(A^{-1})' = 0,\quad A(A^{-1})'=-A' A^{-1} \end{align}$

両辺に左から $A^{-1}$ をかけて

$\begin{align} (A^{-1})' = - A^{-1} A' A^{-1} \end{align}$

となる．同じようにして， $A^n (A^{-n})=I$ の両辺を微分すると

$\begin{align} (A^n)' A^{-n}+A^n(A^{-n})' = 0,\quad A^n(A^{-n})'=-(A^n)' A^{-n} \end{align}$

なので

$\begin{align} (A^{-n})' &= -A^{-n} (A^n)' A^{-n} \\\\ &= -A^{-n} \sum_{k=1}^{n} A^{k-1} A' A^{n-k} A^{-n} \\\\ &= -A^{-n} \sum_{k=1}^{n} A^{k-1} A' A^{-k} \end{align}$

となる．

次に行列の対数について．

$\begin{align} \ln A &= \ln (I+(A-I)) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{k}(A-I)^k \end{align}$

なので，無限級数と微分が交換できるならば

$\begin{align} (\ln A)' &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{m=1}^k \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A-I)^{m-1} (A-I)' (A-I)^{k-m} \\\\ &= \sum_{k=1}^\infty \sum_{m=1}^k \frac{(-1)^{k-1}}{k} (A-I)^{m-1} A' (A-I)^{k-m} \end{align}$

となる．

対数の微分の式のトレースをとると，トレースの巡回性によって

$\begin{align} \mathrm{tr}\;(\ln A)' &= \mathrm{tr}\left[ \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} (A-I)^{k-1} A' \right] = \mathrm{tr} \left[ A' \sum_{k=1}^\infty (I-A)^{k-1} \right] \end{align}$