det A, log det A の微分（その1）

　正方行列 $A$ の成分を $a_{ij}$ と書くとき

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial a_{ij}} \det A = \tilde{a}_{ij} \label{1} \tag{1} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial a_{ij}}[ \ln(\det A)] = [(A^{-1})^t]_{ij} =(A^{-1})_{ji} \label{2} \tag{2} \end{align}$

である． $\tilde{a}_{ij}$ は $A$ の余因子， $t$ は転置行列を表す．\eqref{1}, \eqref{2} は行列表記で表すと

$\begin{align} \frac{\partial \det A}{\partial A} &= \tilde{A}^t \label{1a}\tag{1a} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial A}[ \ln(\det A)] = (A^{-1})^t \label{2a} \tag{2a} \end{align}$

と書ける． $\tilde{A}$ は $A$ の余因子行列（ $(\tilde{A})_{ij} = \tilde{a}_{ji}$ ) である．

　これらを示すため，まず

$\begin{align} A\tilde{A} &= I\, \det{A} \label{3}\tag{3} \\\\ A^{-1} &= \frac{1}{\det A}\tilde{A} \label{4}\tag{4}\end{align}$

に注意する（ $I$ は単位行列）と，\eqref{4}は成分表示で

$\begin{align} [(A^{-1})^t]_{ij} = \frac{1}{\det A} \tilde{a}_{ij} \label{5}\tag{5} \end{align}$

と書ける．

　 $\det A$ の余因子展開 $\det A = \sum_k \,a_{ik}\, \tilde{a}_{ik}$ の両辺を微分すると

$\begin{align} \frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}} &= \sum_k\left[ \frac{\partial a_{ik}}{\partial a_{ij}} \tilde{a}_{ik} + a_{ik} \frac{\partial \tilde{a}_{ik}}{\partial a_{ij}} \right] \\\\ &= \sum_k\left[\delta_{kj} \tilde{a}_{ik} + a_{ik} \frac{\partial \tilde{a}_{ik}}{\partial a_{ij}} \right] = \tilde{a}_{ij} \label{6}\tag{6} \end{align}$

となり\eqref{1}を得る．ここで $\tilde{a}_{ik}$ は $A$ の $i$ 行目の成分を持たないので， $a_{ij}$ による微分は0になることを使った．\eqref{5}と\eqref{6} から

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial a_{ij}}[ \ln(\det A)] &= \frac{1}{\det A} \frac{\partial \det A}{\partial a_{ij}} \\\\ &= \frac{1}{\det A} \tilde{a}_{ij} = [(A^{-1})^t]_{ij} \label{7}\tag{7}\end{align}$

となって\eqref{2}を得る．