余因子と余因子行列

　 n 次正方行列 A の余因子（cofactor） \tilde{a}_{ij} とは， A の i 行目の成分と j 列目の成分を抜き取って (n-1) 次正方行列をつくり，その行列式に (-1)^{i+j} をかけたものである．


　余因子 \tilde{a}_{ij} を i,j 成分とする行列の転置行列を余因子行列（adjugate matrix）というが，転置しない行列のことを cofactor matrix ということがある．日本語ではどちらも「余因子行列」なのだが，普通は adjugate matrix を余因子行列と呼んでいる．本によっては cofactor matrix を \mathrm{cof\ } A ，adjugate matrix を \mathrm{adj\ } A などと書いて区別することがある．もちろん (\mathrm{cof\ } A)^t = \mathrm{adj\ } A である．


　3次正方行列の場合，反対称テンソル \varepsilon_{ijk} を使って


\begin{align} (\mathrm{cof\ } A)_{ij} = \frac{1}{2}\varepsilon_{imn} \varepsilon_{jpq} A_{mp} A_{nq} \end{align}


と書ける（添え字について和を取る）．これから


\begin{align} \mathrm{tr}(\mathrm{cof\ } A) = \frac{1}{2}\left[ (\mathrm{tr} A)^2 - \mathrm{tr}(A^2)\right] \end{align}


という関係がある．