3×3 余因子行列（その1）

　余因子行列は以前にも触れたが，ここでは3行3列の行列に限定する．余因子行列 (adjugate matrix) の転置行列である cofactor matrix は，以前にも書いたが

$\begin{align} (\mathrm{cof\ } A)_{ij} = \frac{1}{2}\varepsilon_{imn} \varepsilon_{jpq} A_{mp} A_{nq} \label{1} \tag{1} \end{align}$

と書ける（添え字について和をとる）．今回はこの式を証明したい．

　準備として，まずベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ を使って

$\begin{align} (\mathrm{cof}\ A) (\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(A\mathbf{u})\times(A\mathbf{v}) \label{2} \tag{2} \end{align}$

と書けることを示す．使うのはスカラー三重積で，これは 3つのベクトルを並べて作った行列の行列式に等しい．

$\begin{align} \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = \det[\mathbf{u}\ \mathbf{v}\ \mathbf{w}] \end{align}$

これから

$\begin{align} \mathbf{w}\cdot[(A\mathbf{u})\times(A\mathbf{v})] &= \det[\mathbf{w}\ A\mathbf{u}\ A\mathbf{v}] \\\\ &= \det[AA^{-1}\mathbf{w}\ A\mathbf{u}\ A\mathbf{v}] \\\\ &= \det(A) \det[A^{-1}\mathbf{w}\ \mathbf{u}\ \mathbf{v}] \\\\ &= \det(A) (A^{-1}\mathbf{w})\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{v}) \\\\ &= \det(A) (\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot(A^{-1}\mathbf{w}) \\\\ &= \det(A) A^{-T}(\mathbf{u}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{w} \\\\ &= \mathbf{w}\cdot[\mathrm{cof}(A) (\mathbf{u}\times\mathbf{v})] \end{align}$

により\eqref{2}を得る．ここで $A^{-T}=(A^{-1})^T=(A^T)^{-1}$ である．\eqref{2} は $\mathrm{cof}(A)$ の成分表示を使わない定義とみることもできる．つまり\eqref{2}は基底の選び方によらずに成立する．

　\eqref{1} を示すには\eqref{2}の両辺を成分表示すればよい．\eqref{2}の右辺を次のように変形する．

$\begin{align} [(A\mathbf{u})\times(A\mathbf{v})]_i &= \varepsilon_{imn} (A\mathbf{u})_m (A\mathbf{v})_n \\\\ &= \frac{1}{2} \varepsilon_{imn} [ (A\mathbf{u})_m (A\mathbf{v})_n - (A\mathbf{u})_n (A\mathbf{u})_m] \\\\ &= \frac{1}{2} \varepsilon_{imn} A_{mp}A_{nq} (u_p v_q- u_q v_p) \\\\ &= \frac{1}{2} \varepsilon_{imn} (\delta_{pk}\delta_{ql}-\delta_{pl}\delta_{qk}) A_{mp}A_{nq} u_k v_l \\\\ &= \frac{1}{2}\varepsilon_{imn}\varepsilon_{jpq} A_{mp}A_{nq} \varepsilon_{jkl} u_k v_l \end{align}$

一方で\eqref{2}の左辺は

$\begin{align} [(\mathrm{cof} A)(\mathbf{u}\times\mathbf{v})]_i &= (\mathrm{cof} A)_{ij} \varepsilon_{jkl} u_k v_l \end{align}$

と書けるので両辺を比較して\eqref{1}を得る．