3×3 余因子行列（その2）

　前回の(2)式

$\begin{align} (\mathrm{cof}\ A) (\mathbf{u}\times\mathbf{v})=(A\mathbf{u})\times(A\mathbf{v}) \label{1} \tag{1} \end{align}$

は幾何学的な意味をもつ． $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ は $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ が張る平行四辺形の面積を表すので， $\mathbf{u}$ と $\mathbf{v}$ を一次変換した $A\mathbf{u}$ と $A\mathbf{v}$ が張る平行四辺形の面積は，もとの平行四辺形の面積 $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ に $\mathrm{cof} A$ をかけたものである，と言える．

　\eqref{1} で $\mathrm{cof}(A) = (\det A)A^{-T}$ と書き換え， $\mathbf{u}, \mathbf{v}$ を微小なベクトル $d\mathbf{u}, d\mathbf{v}$ にする． $d\mathbf{u}, d\mathbf{v}$ が張る面積を $dS$ ，その面の単位法線ベクトルを $\mathbf{N}$ とし， $A\,d\mathbf{u}, A\,d\mathbf{v}$ が張る面積を $ds$ ，その面の単位法線ベクトルを $\mathbf{n}$ とすると

$\begin{align} \mathbf{N} \,dS = d\mathbf{u}\times d\mathbf{v},\qquad \mathbf{n}\,ds = A\,d\mathbf{u}\times A\,d\mathbf{v} \end{align}$

であるから，\eqref{1}は

$\begin{align} \mathbf{n}\,ds = (\det A)A^{-T} \mathbf{N} dS \label{2} \tag{2} \end{align}$

と書ける．\eqref{2} は Nanson の公式と呼ばれる．

　同様なことを体積で行う．ベクトル $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ がつくる平行六面体の体積はスカラー三重積で与えられる．

$\begin{align} \mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) = \det[\mathbf{u}\ \mathbf{v}\ \mathbf{w}] \end{align}$

$\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ を一次変換した $A\mathbf{u}, A\mathbf{v}, A\mathbf{w}$ がつくる平行六面体の体積は

$\begin{align} (A\mathbf{u}) \cdot ( (A\mathbf{v})\times(A\mathbf{w})) &= \det[A\mathbf{u}\ A\mathbf{v}\ A\mathbf{w}] \\\\ &=\det(A)\det[\mathbf{u}\ \mathbf{v}\ \mathbf{w}] \\\\ &= \det(A) (\mathbf{u}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{w}) ) \end{align}$

となる．3次元でのdetと類似した役割が，2次元ではcofが果たしている（detはスカラーでcofは行列ではあるが）． $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w}$ を微小ベクトル $d\mathbf{u}, d\mathbf{v}, d\mathbf{w}$ とし，これらが張る体積を $dV$ ，さらに $A\,d\mathbf{u}, A\,d\mathbf{v}, A\,d\mathbf{w}$ が張る体積を $dv$ とすれば

$\begin{align} dv = (\det A) dV \label{3} \tag{3} \end{align}$

となる． $\det A$ はヤコビアンである．