ε_(ijk) ε_(lmn)

　3階反対称テンソルの積


\begin{align} \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{lmn} = \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix} \label{1} \tag{1} \end{align}


を時折見かける．これを示すのに添え字に一つずつ数を入れて確認するのは大変である．正規直交基底 \mathbf{e}_i を使うと


\begin{align} \varepsilon_{ijk} = \mathbf{e}_i\cdot(\mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k) = \det[\mathbf{e}_i\ \ \mathbf{e}_j\ \ \mathbf{e}_k] \end{align}


なので


\begin{align} \varepsilon_{ijk} \, \varepsilon_{lmn} &= \det[\mathbf{e}_i\ \ \mathbf{e}_j\ \ \mathbf{e}_k]\ \det[\mathbf{e}_l\ \ \mathbf{e}_m\ \ \mathbf{e}_n] \\\\ &= \det[\mathbf{e}_i\ \ \mathbf{e}_j\ \ \mathbf{e}_k]^T\ \det[\mathbf{e}_l\ \ \mathbf{e}_m\ \ \mathbf{e}_n] \\\\ &=\det([\mathbf{e}_i\ \ \mathbf{e}_j\ \ \mathbf{e}_k]^T\, [ \mathbf{e}_l\ \ \mathbf{e}_m\ \ \mathbf{e}_n]) \\\\ &= \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_l & \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_m & \mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}_n \\ \mathbf{e}_{j}\cdot\mathbf{e}_l & \mathbf{e}_{j}\cdot\mathbf{e}_m & \mathbf{e}_{j}\cdot\mathbf{e}_n \\ \mathbf{e}_{k}\cdot\mathbf{e}_l & \mathbf{e}_{k}\cdot\mathbf{e}_m & \mathbf{e}_{k}\cdot\mathbf{e}_n \end{vmatrix} \\\\ &= \begin{vmatrix} \delta_{il} & \delta_{im} & \delta_{in} \\ \delta_{jl} & \delta_{jm} & \delta_{jn} \\ \delta_{kl} & \delta_{km} & \delta_{kn} \end{vmatrix} \end{align}


でよいかと思う．