ユークリッド化 - 河漢の戯言

　相対論的な場の理論ではミンコフスキー空間からユークリッド空間に変更して計算を行うことがある．この操作はユークリッド化とかウィック回転とか呼ばれている．混乱を避けるため，ミンコフスキー空間では"mostly minus"，すなわち $(+---)$ 計量を使うことにして，どのようにユークリッド化されるのか，いくつか本を調べてみた．ミンコフスキー空間の時間変数を $x_0$ , ユークリッド空間の時間変数を $x_4$ とする．また，4元運動量の時間成分をそれぞれ $p_0, p_4$ とする．

$x_0 = ix_4,\ p_0=ip_4$ : V.Pナイア, 阿部泰裕(訳), 磯暁(訳)「場の量子論（基礎編）」(シュプリンガージャパン, 2009) P57

$x_0 = -ix_4,\ p_0=ip_4$ : M.S.スワンソン, 青山秀明(訳), 川村浩之(訳), 和田信也(訳)「経路積分法」(吉岡書店, 1996) P240

$x_0 = -ix_4,\ p_0=-ip_4$ : Y.Makeenko, "Methods of Contemporary Gauge Theory", (Cambridge, 2002) P6

符号の取りかたが本によって見事にバラバラである．時間変数については「 $-i\epsilon$ 処方」と呼ばれているように， $x_0=-ix_4$ としなければならないと思っていたが，そうでない場合もあって驚いた．

　運度量については， $p_0=ip_4$ とすると，複素 $p_0$ 平面において実軸上の積分をファインマン伝播関数の極をよけて虚数軸に移動させることができるので都合がよい．しかし， $p_\mu x^\mu = p_0 x^0 -\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} \to p_4 x_4 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}=p_\mu x_\mu$ となり，ユークリッド化したにもかかわらず，時間と空間の間に負号がつく．このためフーリエ変換するときにはかなりの注意がいる．一方， $p_0=-ip_4$ とすれば $p_\mu x^\mu = p_0 x^0 -\mathbf{p}\cdot\mathbf{x} \to -p_4 x_4 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{x}=-p_\mu x_\mu$ となり都合がよいが，ファインマン伝播関数の極を避けるために $p_0$ 積分を考えるときは