電磁気学の基礎 II （その26） 15.14, 15.15

　15.14節．ジュール熱の変換則は

$\begin{align} \varphi' &= \left\{ \mathbf{J}_\perp+\gamma\left(\mathbf{J}_\parallel-\mathbf{v}\varrho\right)\right\} \cdot \left\{\mathbf{E}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp\right)\right\} \\ &= \gamma\left\{ \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} -\varrho \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}_\parallel +\mathbf{J}_\perp\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp)\right\} \\ &= \gamma\left\{ \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} -\varrho \mathbf{v}\cdot\mathbf{E} - \mathbf{v}\cdot(\mathbf{J}_\perp\times \mathbf{B}_\perp)\right\} \\ &= \gamma(\varphi-\mathbf{v}\cdot\mathbf{f}) \end{align}$

ローレンツ力密度の変換則は

$\begin{align} \varrho'\mathbf{E}' &= \gamma\left(\varrho-\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{J}_\parallel}{c^2}\right) \left\{\mathbf{E}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp\right)\right\} \\ &= \gamma\varrho\mathbf{E}_\parallel +\gamma^2\varrho\mathbf{E}_\perp + \gamma^2 \varrho\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp -\frac{\gamma}{c^2}\mathbf{J}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel \mathbf{v}-\frac{\gamma^2}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{J}_\parallel \mathbf{E}_\perp -\frac{\gamma^2 u^2}{c^2}\mathbf{J}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{J}'\times\mathbf{B}' &= \left\{ \mathbf{J}_\perp+\gamma\left(\mathbf{J}_\parallel-\mathbf{v}\varrho\right)\right\} \times \left\{ \mathbf{B}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right)\right\} \\ &= \mathbf{J}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel + \gamma \mathbf{J}_\perp\times\mathbf{B}_\perp -\frac{\gamma}{c^2}\mathbf{J}_\perp\cdot\mathbf{E}_\perp\mathbf{v}+\gamma^2 \mathbf{J}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{\gamma^2}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{J}_\parallel \mathbf{E}_\perp \\ &\ -\gamma^2 \varrho \mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp -\frac{\gamma^2v^2\varrho}{c^2}\mathbf{E}_\perp \end{align}$

によって(15.49)になる．

　エネルギー密度について

$\begin{align} u' &= \frac{1}{2}\epsilon_0 E'^2+\frac{1}{2\mu_0}B'^2 \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0\left\{\mathbf{E}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp\right)\right\}^2 +\frac{1}{2\mu_0} \left\{ \mathbf{B}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right)\right\}^2 \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 E_\parallel^2 + \frac{1}{2}\epsilon_0 \gamma^2 \left( E_\perp^2 -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{E}_\perp\times\mathbf{B}_\perp + v^2 B_\perp^2\right) \\ &\ +\frac{1}{2\mu_0}B_\parallel^2 + \frac{1}{2\mu_0}\gamma^2\left( B_\perp^2 -\frac{2}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}_\perp\times\mathbf{B}_\perp+\frac{v^2}{c^4}E_\perp^2\right) \end{align}$

このうち外積の項を $\mathbf{g}=\epsilon_0 \mathbf{E}\times\mathbf{B}$ , $\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{B}/\mu_0$ で表すと

$\begin{align} u' &= \gamma^2\left( u-\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}\right) -\frac{1}{2}\epsilon_0 \gamma^2 \frac{v^2}{c^2}\left( E_\parallel^2-\frac{1}{\mu_0\epsilon_0 c^2}E_\perp^2\right) \\ &\ -\frac{1}{2\mu_0}\gamma^2\frac{v^2}{c^2}(B_\parallel^2-\mu_0 \epsilon_0 c^2 B_\perp^2) \end{align}$

になる．一方で

$\begin{align} \mathbf{v}\cdot\left(\mathbf{E}\mathbf{E}-\frac{1}{2}E^2\right)\cdot\mathbf{v} =(\mathbf{v}\cdot\mathbf{E})^2-\frac{1}{2}v^2 E^2 =v^2 E_\parallel^2 - \frac{1}{2}v^2(E_\parallel^2+E_\perp^2) =\frac{v^2}{2}(E_\parallel^2-E_\perp^2) \end{align}$

であるから、

$\begin{align} \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}=\frac{v^2}{2}\epsilon_0(E_\parallel^2-E_\perp^2) +\frac{v^2}{2\mu_0}(B_\parallel^2-B_\perp^2) \end{align}$ ]

となり， $\epsilon_0 \mu_0 c^2=1$ であるから

$\begin{align} u'=\gamma^2\left( u-\mathbf{v}\cdot\mathbf{g}-\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}-\frac{1}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathsf{T}\cdot\mathbf{v}\right) \end{align}$

となる。 $\mathbf{S}, \mathbf{g}, \mathsf{T}$ の変換則は16.7節でやる（らしい）．

　15.15節．P486のエネルギー密度は

$\begin{align} u&=\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0}B^2 \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \frac{1}{2\mu_0 c^4}(\mathbf{v}\times\mathbf{E})^2 \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 \left(E^2 + (\pmb{\beta}\times\mathbf{E})^2\right) \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 (1+\beta^2\sin^2\theta) \end{align}$

である．エネルギーの積分は

$\begin{align} U &=2 \pi \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \sin \theta \int_{r(\theta)}^{\infty} \mathrm{d} r r^{2} u \\ &= 2\pi \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \sin \theta \int_{r(\theta)}^{\infty} \mathrm{d} r r^{2} \cdot \frac{\epsilon_0(1+\beta^2\sin^2\theta)}{2}\frac{q^2}{(4\pi\epsilon_0 r^2)^2} \frac{(1-\beta^2)^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^2}{16\pi\epsilon_0} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin\theta(1+\beta^2\sin^2\theta)}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3} \int_{r(\theta)}^\infty \frac{dr}{r^2} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^2}{16\pi\epsilon_0 a} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin\theta(1+\beta^2\sin^2\theta)}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3} \sqrt{\frac{1-\beta^2\sin^2\theta}{1-\beta^2}} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2}}{16\pi\epsilon_0 a} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin\theta(1+\beta^2\sin^2\theta)}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{5/2}} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2}}{16\pi\epsilon_0 a} \frac{2(1+\beta^2/3)}{(1-\beta^2)^2} \\ &=\frac{1+\frac{1}{3} \beta^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \frac{q^{2}}{8 \pi \epsilon_{0} a}=\left(\frac{4}{3}-\frac{1-\beta^{2}}{3}\right) \frac{m c^{2}}{\sqrt{1-\beta^{2}}} \end{align}$

となる．ここで

$\begin{align} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin\theta(1+\beta^2\sin^2\theta)}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{5/2}} = \int_{-1}^1 dt \frac{1+\beta^2(1-t^2)}{(1-\beta^2(1-t^2))^{5/2}} \end{align}$

$\begin{align} \int \frac{dt}{(a+b t^2)^{5/2}}=\frac{(3a+2bt^2)t}{3a^2(a+bt^2)^{3/2}} \end{align}$

$\begin{align} \int dt\frac{t^2}{(a+b t^2)^{5/2}}=\frac{t^3}{3a^2(a+bt^2)^{3/2}} \end{align}$

を使った．

　 $\mathbf{G}$ を求めるには，積分するときに $\mathbf{x}$ 比例項は $\mathbf{v}$ 方向成分のみが残ることに注意する．

$\begin{align} \frac{v\cos\theta x_z}{r}\mathbf{e}_z = \frac{rv\cos^2\theta}{r}\frac{\mathbf{v}}{v}=\cos^2 \theta \mathbf{v} \end{align}$

により

$\begin{align} \mathbf{G} &=2 \pi \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \sin \theta \int_{r(\theta)}^{\infty} \mathrm{d} r r^{2} \mathbf{g} \\ &= 2\pi \int_{0}^{\pi} \mathrm{d} \theta \sin \theta \int_{r(\theta)}^{\infty} \mathrm{d} r r^{2} \cdot \frac{\epsilon_0}{c^2}\frac{q^2}{(4\pi\epsilon_0 r^2)^2} \frac{(1-\beta^2)^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3}(1-\cos^2\theta)\mathbf{v} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^2 \mathbf{v}}{8\pi\epsilon_0 c^2} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin^3\theta}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3} \int_{r(\theta)}^\infty \frac{dr}{r^2} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^2 \mathbf{v}}{8\pi\epsilon_0 c^2 a} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin^3\theta}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^3} \sqrt{\frac{1-\beta^2\sin^2\theta}{1-\beta^2}} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2} \mathbf{v}}{8\pi\epsilon_0 c^2 a} \int_0^\pi d\theta \frac{\sin^3\theta}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{5/2}} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2} \mathbf{v}}{8\pi\epsilon_0 c^2 a} \frac{4}{3(1-\beta^2)^2} \\ &= \frac{4}{3}\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{align}$

となる．

　P488の $p$ は

$\begin{align} p(\mathbf{x})=-\frac{q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 a^4}\theta(r-r(\theta)) \end{align}$

であると思われる．このとき

$\begin{align} u^{\rm mech}=-p \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right),\quad \mathbf{g}^{\rm mech} = -\frac{p}{c^2}\frac{\eta}{1-\beta^2}\mathbf{v} \end{align}$

と書ける．

　非電磁的エネルギーと運動量は

$\begin{align} U^{\rm mech} &= 2\pi \int_0^\pi d\theta\sin\theta \int_0^\infty dr r^2 u^{\rm mech} \\ &= \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 a^4} \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right) \int_0^\pi d\theta\sin\theta \int_0^{r(\theta)} dr r^2 \\ &= \frac{q^2}{48\pi\epsilon_0 a^4} \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right) \int_0^\pi d\theta\sin\theta r(\theta)^3 \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2}}{48\pi\epsilon_0 a} \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right) \int_0^\pi d\theta\frac{\sin\theta}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{3/2}}{48\pi\epsilon_0 a} \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right) \frac{2}{1-\beta^2} \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{1/2}}{24\pi\epsilon_0 a} \left(1+\frac{\eta}{1-\beta^2}\right) \\ &= \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 a} \left(\frac{1-\beta^2}{3}+\frac{\eta}{3}\right)\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}} = \left(\frac{1-\beta^2}{3}+\frac{\eta}{3}\right)\frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{G}^{\rm mech} &= 2\pi \int_0^\pi d\theta\sin\theta \int_0^\infty dr r^2 \mathbf{g}^{\rm mech} \\ &= \frac{q^2}{16\pi\epsilon_0 a^4} \frac{\mathbf{v}}{c^2}\frac{\eta}{1-\beta^2}\int_0^\pi d\theta\sin\theta \int_0^{r(\theta)} dr r^2 \\ &= \frac{q^2(1-\beta^2)^{1/2}}{24\pi\epsilon_0 a} \frac{\eta}{c^2(1-\beta^2)}\mathbf{v} \\ &= \frac{q^2}{24\pi\epsilon_0 a c^2}\frac{\eta\mathbf{v}}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{\eta}{3}\frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\beta^2}} \end{align}$

となる．