電磁気学の基礎 II （その27） 15.16, 15.17

　15.16節．共変テンソルを(15.54)で定義したときの成分表示は

$\begin{align} F_{\mu\nu}=\left( \begin{array}{cccc} 0 & -E_x/c & -E_y/c & -E_z/c \\ E_x/c & 0 & -B_z & B_y \\ E_y/c & B_z & 0 & -B_x \\ E_z/c & -B_y & B_x & 0 \end{array}\right) \end{align}$

である．反変テンソルの成分は(15.56)であり，一般座標系では反変テンソルの電磁場と，共変テンソルの電磁場は異なる．慣性系ではもちろん同じ．

　磁気モノポールがある場合でも $F^{\mu\nu}$ を定義できることは知らなかった． $A^\mu$ が定義されなくても $F^{\mu\nu}$ が定義できるということは， $A^\mu$ よりも $F^{\mu\nu}$ のほうが第一義的な量であるということだろうか．磁気モノポールも考慮したマクスウェル方程式をヘヴィサイド方程式という．

　微分形式を使うとマクスウェル方程式が簡単な形になる．が，それ以上の有用性は残念ながらわからない．

　15.17節．一般座標変換のもとでのマクスウェル方程式．わずかなページでこれを説明されているが，やはりわかりづらい．とにかくマクスウェル（ヘヴィサイド）方程式に現れる微分を共変微分に置き換えればよい．その結果(15.57)は(15.62)左の式になり， $\sqrt{-g}$ という因子が新たにつく．一方(15.58)を共変微分に置き換えても，クリストッフェルを含む項はすべて相殺して消えてしまい，結果として(15.62)右の式のように，(15.58)と同形になる．おそらくこの違いには幾何学的な意味があるのだろうが，残念ながらわらかない．

　後半は回転系のマクスウェル方程式を求める． $z$ 軸まわりの一定角速度の回転系への座標変換によって

$\begin{align} dt = dt',\ d\rho = d\rho',\ d\varphi = d\varphi'+\omega dt = d\varphi'+\omega dt',\ dz=dz' \end{align}$

となるので $ds^2$ が求まり，計量テンソルが計算される．P495の回転座標系の電磁場は，共変テンソルの定義が誤っている．

$\begin{align} \begin{array}{l}{\displaystyle \left(F^{\prime 01}, F^{\prime 02}, F^{\prime 03}\right)=\frac{1}{c}\left(\tilde{E}_{\rho}^{\prime}, \frac{1}{\rho^{\prime}} \tilde{E}_{\varphi}^{\prime}, \tilde{E}_{z}^{\prime}\right)} \\ {\displaystyle\left(F^{\prime 12}, F^{\prime 23}, F^{\prime 31}\right)=\left(\frac{1}{\rho^{\prime}} \tilde{B}_{z}^{\prime}, \frac{1}{\rho^{\prime}} \tilde{B}_{\rho}^{\prime}, \tilde{B}_{\varphi}^{\prime}\right)} \\ {\displaystyle\left(F_{01}^{\prime}, F_{02}^{\prime}, F_{03}^{\prime}\right)=-\frac{1}{c}\left(E_{\rho}^{\prime}, \rho^{\prime} E_{\varphi}^{\prime}, E_{z}^{\prime}\right)} \\ {\displaystyle\left(F_{12}^{\prime}, F_{23}^{\prime}, F_{31}^{\prime}\right)=\left(\rho^{\prime} B_{z}^{\prime}, \rho^{\prime} B_{\rho}^{\prime}, B_{\varphi}^{\prime}\right)}\end{array} \end{align}$

としないと以下で矛盾が起きる．微分は

$\begin{align} \partial_0 = \frac{1}{c}\partial_t,\quad \partial_1 = \partial_\rho,\quad \partial_2 = \partial_\varphi,\quad \partial_3 = \partial_z \end{align}$

である．このときに $\partial_\mu(\sqrt{-g}F^{\mu\nu})=-\mu_0 \sqrt{-g}J^\nu$ を計算する．プライム記号とチルダ記号を略す． $\nu=0$ の場合，

$\begin{align} \partial_1(\rho F^{10})+\partial_2(\rho F^{20})+\partial_1(\rho F^{30}) = -\frac{1}{c}(\partial_\rho(\rho E_\rho)+\partial_\varphi E_\varphi + \partial_z (\rho E_z))=-\mu_0 c \rho\varrho \end{align}$

$\begin{align} \frac{1}{\rho}\partial_\rho(\rho E_\rho) +\frac{1}{\rho}\partial_\varphi E_\varphi +\partial_z E_z =\frac{1}{\epsilon_0} \varrho,\quad \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E} = \frac{1}{\epsilon_0}\epsilon_0 \ \end{align}$

となり，ガウスの法則を得る． $\nu=1$ の場合

$\begin{align} \partial_0(\rho F^{01})+\partial_2(\rho F^{21})+\partial_3(\rho F^{31}) =\frac{1}{c^2}\partial_t (\rho E_\rho) - \partial_\varphi B_z + \partial_z(\rho B_\varphi)=-\mu_0 \rho J^1 \end{align}$

$\begin{align} \frac{1}{\rho}\partial_\varphi B_z - \partial_z B_\varphi - \frac{1}{c^2}\partial_t E_\rho = -\mu_0 J_\rho,\quad (\pmb{\nabla}\times \mathbf{B})_\rho - \frac{1}{c^2}\dot{E}_\rho = -\mu_0 J_\rho \end{align}$

となりアンペールマクスウェルの法則を得る．続いて $\partial_\mu {}^*F^{\mu\nu}=0$ を計算する．

$\begin{align} \partial_1 {}^*F^{10} + \partial_2 {}^*F^{20} + \partial_3 {}^*F^{30} &= -\partial_1 F_{23} - \partial_2 F_{31} - \partial_3 F_{12} \\ &= -\partial_\rho (\rho B_\rho)-\partial_\varphi B_\varphi -\partial_z (\rho B_z) =0 \end{align}$

によって

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}=0 \end{align}$

を得，

$\begin{align} \partial_0 {}^*F^{01} + \partial_2 {}^*F^{21} + \partial_3 {}^*F^{31} &= \partial_0 F_{23} - \partial_2 F_{03} + \partial_3 F_{02} \\ &= \frac{1}{c}(\partial_t (\rho B_\rho)+\partial_\varphi E_z -\partial_z (\rho E_\varphi))=0 \end{align}$

から

$\begin{align} (\pmb{\nabla}\times\mathbf{E})_\rho+\dot{B}_\rho=0 \end{align}$

を得る．他も同様により，(15.63)になる．共変，反変テンソルは

$\begin{align} F'^{01} = g'^{0\mu}g'^{1\nu}F'_{\mu\nu}=g'^{0\mu}g'^{11}F'_{\mu 1} =-F'_{01}+\frac{\omega}{c}F'_{21} = \frac{1}{c}(E'_\rho-\omega \rho' B'_z) \end{align}$

$\begin{align} F'^{12} &= g'^{1\mu}g'^{2\nu}F'_{\mu\nu} =g'^{11}g'^{20}F'_{10}+g'^{11}g'^{22}F'_{12} \\ =& \frac{\omega}{c^2}E'_\rho+\left(\frac{1}{\rho'^2}-\frac{\omega^2}{c^2}\right) (\rho' B'_z) =\frac{1}{\rho'^2}B'_z + \frac{\omega}{c^2}(E'_\rho - \omega \rho' B'_z) \end{align}$

などにより(15.64)の上の式のようになる．これから

$\begin{align} \tilde{E}'_\rho = E'_\rho-\omega \rho' B'_z,\ \tilde{E}'_\varphi = E'_\varphi,\ \tilde{E}'_z = E'_z +\omega\rho' B'_\rho \end{align}$

$\begin{align} \tilde{B}'_z = B'_z+\frac{\omega \rho'}{c^2}(E'_\rho -\omega \rho' B'_z) =B'_z + \frac{\omega\rho'}{c^2}\tilde{E}'_\rho \end{align}$

$\begin{align} \tilde{B}'_\rho = B'_\rho-\frac{\omega \rho'}{c^2}(E'_z +\omega \rho' B'_\rho) =B'_\rho - \frac{\omega\rho'}{c^2}\tilde{E}'_z \end{align}$

$\begin{align} \tilde{B}'_\varphi = B'_\varphi \end{align}$

となる．これが(15.64)と等価であることは

$\begin{align} \tilde{\mathbf{E}}' &= \mathbf{E}'-\mathbf{u}\times\mathbf{B}' = \mathbf{E}'-(\pmb{\omega}\times\mathbf{x}')\times\mathbf{B}' = \mathbf{E}'+\mathbf{B}'\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{x}') \\ &= \mathbf{E}'+\mathbf{B}'\cdot\mathbf{x}' \pmb{\omega}-\mathbf{B}'\cdot\pmb{\omega}\mathbf{x}' \\ &= \mathbf{E}'+(B'_\rho \rho'+B'_z z') \omega\mathbf{e}_{z'}-B'_z \omega (\rho'\mathbf{e}_{\rho'}+z'\mathbf{e}_{z'}) \end{align}$

$\begin{align} \tilde{\mathbf{B}}' &= \mathbf{B}'+\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\tilde{\mathbf{E}}' = \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}\tilde{\mathbf{E}}'\times(\pmb{\omega}\times\mathbf{x}') \\ &= \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}(\tilde{\mathbf{E}}'\cdot\mathbf{x}' \pmb{\omega}-\tilde{\mathbf{E}}'\cdot\pmb{\omega}\mathbf{x}' )\\ &= \mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}[(\tilde{E}'_\rho \rho'+\tilde{E}'_z z') \omega\mathbf{e}_{z'}-\tilde{E}'_z \omega (\rho'\mathbf{e}_{\rho'}+z'\mathbf{e}_{z'})] \end{align}$

により確かめられる． $\tilde{\mathbf{B}}'$ の位置に注意．(15.64)から

$\begin{align} \tilde{\mathbf{B}}' &= \mathbf{B}' -\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\tilde{\mathbf{E}}' \\ &=\mathbf{B}' -\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times(\mathbf{E}'-\mathbf{u}\times\mathbf{B}') \\ &= \mathbf{B}' -\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\mathbf{E}'+\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times(\mathbf{u}\times\mathbf{B}') \end{align}$

を(15.63)に代入すると

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\cdot\tilde{\mathbf{E}}' = \pmb{\nabla}'\cdot\mathbf{E}' -\pmb{\nabla}'\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{B}')=\frac{\varrho'}{\epsilon_0} \end{align}$

から $\pmb{\nabla}'\cdot\mathbf{E}'$ の式を得，

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\times\tilde{\mathbf{B}}' -\frac{1}{c^2} \frac{\partial \tilde{\mathbf{E}}'}{\partial t'} &= \pmb{\nabla}'\times\mathbf{B}'-\frac{1}{c^2}\pmb{\nabla}'\times(\mathbf{u}\times\tilde{\mathbf{E}}') -\frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}'}{\partial t'} +\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times \frac{\partial \mathbf{B}'}{\partial t'} \end{align}$

から $\pmb{\nabla}'\times\mathbf{B}'$ の式を得る．

　P496の残りの部分については，計算が合わないところがあるので次回にまわす．