電磁気学の基礎 II （その25） 15.11, 15.12, 15.13

　15.11節．速度の変換，光円錐と因果関係，固有時など．流水中の光速度の，相対論的な導出．

　15.12節．電磁場と速度の変換則からローレンツ力の変換則を導く．電場について

$\begin{align} & (\mathbf{E}_\parallel+\gamma\mathbf{E}_\perp)\left(1-\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}\right) -\frac{\gamma}{c^2}\left(\frac{\mathbf{v}_\perp}{\gamma}+\mathbf{v}_\parallel-\mathbf{u} \right) \times (\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp)\\ &\ = \mathbf{E}_\parallel-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel +\gamma\mathbf{E}_\perp-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}_\perp\cdot\mathbf{E}_\perp-\frac{\gamma u^2}{c^2}\mathbf{E}_\perp\\ &\ = \mathbf{E}_\parallel-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{E}+\gamma\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\mathbf{E}_\perp \\ &\ = \mathbf{E}_\parallel-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{E}+\frac{1}{\gamma}\mathbf{E}_\perp \end{align}$

となる．ここで

$\begin{align} \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}\mathbf{E}_\parallel=\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} \mathbf{u}\cdot\mathbf{E}}{c^2 u^2}\mathbf{u} =\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel \end{align}$

を使った．磁場の項について

$\begin{align} & \gamma\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp \left(1-\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}\right) +\left( \frac{\mathbf{v}_\perp}{\gamma}+\mathbf{v}_\parallel-\mathbf{u} \right)\times \left\{ \mathbf{B}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right) \right\} \\ &\ =\gamma\left(\frac{1}{u^2}-\frac{1}{c^2}\right)\mathbf{u}\cdot\mathbf{v} \mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp +\frac{1}{\gamma}\mathbf{v}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+\mathbf{v}_\perp\times\mathbf{B}_\perp \\ &\ =\frac{1}{\gamma}\mathbf{v}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{1}{\gamma}\mathbf{v}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+\mathbf{v}_\perp\times\mathbf{B}_\perp \end{align}$

となるので，合わせると

$\begin{align} \mathbf{F}_\parallel+\frac{\mathbf{F}_\perp}{\gamma}-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{E} =\mathbf{F}_\parallel+\frac{\mathbf{F}_\perp}{\gamma}-\frac{\mathbf{u}}{c^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{F} \end{align}$

になり， $\mathbf{F}'$ の表式になる．

　P479，上から5番目の式では

$\begin{align} \frac{d}{dt}\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{\mathbf{v}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{c^2}\frac{1}{(1-\beta^2)^{3/2}} \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{v}\cdot\frac{d}{dt}\frac{\mathbf{v}}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{\mathbf{v}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{\sqrt{1-\beta^2}}+ \frac{v^2}{c^2}\frac{\mathbf{v}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{(1-\beta^2)^{3/2}} =\frac{\mathbf{v}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{(1-\beta^2)^{3/2}} \end{align}$