電磁気学の基礎 II （その24） 15.8, 15.9, 15.10

　15.8節．P470の設定を図にすると以下のような感じ．
f:id:haul3740:20191108144253p:plain:w350

$\begin{align} (\mathbf{v}t)^2-\left(\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}}{c}\right)^2+s^2=(\mathbf{x}-\mathbf{v}t)^2 \end{align}$

であるから $s^2$ の式を得る．(15.38)の両辺を2乗は

$\begin{align} r'^2&=r^2+(\gamma-1)^2\left(\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}}{v}\right)^2+\gamma^2v^2t^2 +2(\gamma-1)\left(\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}}{v}\right)^2-2\gamma t\mathbf{x}\cdot\mathbf{v} \\ &\ -2\gamma(\gamma-1)t \mathbf{x}\cdot\mathbf{v} \\ &= \gamma^2(\mathbf{x}-\mathbf{v}t)^2+(1-\gamma^2)\left\{r^2-\left(\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}}{v}\right)^2\right\} \\ &= \gamma^2 s^2 \end{align}$

となる．

　静電場のローレンツ変換については

$\begin{align} \mathbf{E} &= \mathbf{E}'_\parallel+\gamma(\mathbf{E}'_\perp-\mathbf{v}\times\mathbf{B}'_\perp) \\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r'^3}(\mathbf{x}'_\parallel+\gamma\mathbf{x}'_\perp) \\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r'^3} \left\{ \gamma\mathbf{x}'-(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}}{v^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}'\right\} \end{align}$

であり，(15.38)から

$\begin{align} &\ \gamma\mathbf{x}'-(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}}{v^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}' \\ &=\gamma \mathbf{x}+\gamma(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}}{v^2}\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}-\gamma^2\mathbf{v}t -\gamma(\gamma-1)\frac{\mathbf{v}}{v^2}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}-v^2 t) \\ &= \gamma(\mathbf{x}-\mathbf{v}t) \end{align}$

によって(15.39)を得る．磁場は

$\begin{align} \mathbf{B} &= \mathbf{B}'_\parallel+\gamma\left(\mathbf{B}'_\perp+\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}'_\perp}{c^2}\right) \\ &= \frac{\mu_0 q}{4\pi r'^3}\gamma \mathbf{v}\times\mathbf{x}'_\perp = \frac{\mu_0 q}{4\pi r'^3}\gamma \mathbf{v}\times\mathbf{x}' = \frac{\mu_0 q}{4\pi r'^3}\gamma \mathbf{v}\times\mathbf{x} \\ &= \frac{\mu_0 q}{4\pi s^3\gamma^2} \mathbf{v}\times\mathbf{x} = \frac{\mu_0 q}{4\pi s^3}(1-\beta^2) \mathbf{v}\times\mathbf{x} \end{align}$

によって(15.40)を得る．

　15.9節．図15.7より，位置 $[z']$ から観測点へのベクトルが $\mathbf{R}$ である．位置 $[z']$ から $z'$ へのベクトルは $(R/c) \mathbf{v}$ であるから， $z'$ から観測点へのベクトルは， $\mathbf{R}-(R/c)\mathbf{v}$ である．観測点は $(\rho, 0, 0)$ ，位置 $z'$ は $(0,0,z')$ であるから $\mathbf{R}-(R/c)\mathbf{v} = (\rho, 0, 0)-(0,0,z')=(\rho, 0, -z')$ となる．前節の $s$ を今の場合に対応させると， $\mathbf{v}$ は $z$ 軸方向， $\mathbf{x}$ は $x$ 軸方向なので $\mathbf{v}\cdot\mathbf{x}=0$ である． $r^2=\rho^2$ であり， $(\mathbf{x}-\mathbf{v}t)^2$ は $z'^2+\rho^2$ に対応する．よって