電磁気学の基礎 II （その47） 18.11, 18.12

　18.11節．粒子数保存則から，展開の最低次で

$\begin{align} \dot{N}_1 = -N_0 \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} \end{align}$

であり，閉じ込め定理から

$\begin{align} \dot{\mathbf{B}}_1 = \pmb{\nabla}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_0) \end{align}$

である．これらからP595の2番目の式を線形化する．

$\begin{align} N_0 m \dot{\mathbf{v}}=-p' \pmb{\nabla} N_1-\frac{1}{\mu} \mathbf{B}_0 \times(\pmb{\nabla} \times \mathbf{B}_1) \end{align}$

を時間で偏微分する．右辺第1項は

$\begin{align} 　-p' \pmb{\nabla} \dot{N}_1= N_0 p' \pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} \end{align}$

右辺第2項は

$\begin{align} -\frac{1}{\mu} \mathbf{B}_0 \times(\pmb{\nabla} \times \dot{\mathbf{B}}_1) =-\frac{1}{\mu} \mathbf{B}_0 \times(\pmb{\nabla} \times( \pmb{\nabla}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_0))) \end{align}$

となるので，

$\begin{align} N_0 m \ddot{\mathbf{v}} = N_0 p' \pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} -\frac{1}{\mu} \mathbf{B}_0 \times(\pmb{\nabla} \times( \pmb{\nabla}\times(\mathbf{v}\times\mathbf{B}_0))) \end{align}$

となる．両辺を $N_0 m$ で割るとP595の $\ddot{\mathbf{v}}$ の式になる．

　磁場の方向を $z$ 軸方向， $\mathbf{v}$ を $z$ 軸方向に電波する正弦波 $e^{ikz-i\omega t}$ であるとする． $\mathbf{v}=\mathbf{v}_\perp + \mathbf{v}_\parallel$ とすると，

$\begin{align} \mathbf{v}_\parallel = \mathbf{e}_z v_\parallel e^{ikz-i\omega t},\ \ \mathbf{v}_\perp = \mathbf{e}_y v_\perp e^{ikz-i\omega t} \end{align}$

と取ることができる． $\mathbf{k}=k\mathbf{e}_z$ として

$\begin{align} v_s^2 \pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= v_s^2 \pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{v}_\parallel =-v_s^2 \mathbf{k}\mathbf{k}\cdot\mathbf{v}_\parallel=-v_s^2 k^2 \mathbf{v}_\parallel \end{align}$

$\begin{align} -\mathbf{v}_A \times(\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times (\mathbf{v}\times\mathbf{v}_A))) &= \mathbf{v}_A \times(\mathbf{k}\times(\mathbf{k}\times (\mathbf{v}_\perp \times\mathbf{v}_A))) =-v_A^2 k^2 \mathbf{v}_\perp \end{align}$