電磁気学の基礎 II （その48） 18.13, 18.14

　18.13節．ファラデイの法則に余分な項を足して引くと597の一番下の式になり，(11.29)の微分を使うと(18.32)になる．アンペールマクスウェルの法則も同様なことを行うと(18.33)になる．

　 $\mathbf{P}'=\epsilon_0 \chi_{\rm e} \mathbf{E}'$ の両辺をそれぞれローレンツ変換したものが $\mathbf{P}_\parallel, \mathbf{P}_\perp$ の表式であり， $\mathbf{M}'=(1/\mu_0)\chi'_{\rm m}\mathbf{B}'$ も同様にローレンツ変換すると

$\begin{align} \mathbf{M}_\parallel = \frac{\chi'_m}{\mu_0} \mathbf{B}, \quad \mathbf{M}_\perp + \mathbf{v}\times\mathbf{P}_\perp = \frac{\chi'_m}{\mu_0}\left( \mathbf{B}_\perp -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\mathbf{E}_\perp\right) \end{align}$

となるのでこれらの式を各辺どうしで加えるとP598の5番目の式になる．この2式から $\mathbf{M}$ を消去し， $v/c$ の1次までを残す近似を行うと

$\begin{align} \mathbf{P} &= \epsilon_{0} \chi_{e}\left(\mathbf{E}+\mathbf{v} \times \mathbf{B}\right) +\frac{\chi'_m}{c^2 \mu_0}\mathbf{v}\times\mathbf{B} \end{align}$

となる． $\epsilon_0\chi_e = \epsilon_0(\epsilon_r-1)=\epsilon-\epsilon_0$ であり，

$\begin{align} \frac{\chi'_m}{c^2\mu_0}=\frac{\chi_m}{c^2\mu_0(1+\chi_m)}=\frac{\mu_r-1}{c^2\mu_0 \mu_r} =\frac{\mu-\mu_0}{c^2\mu_0 \mu}=\epsilon_0-\frac{1}{c^2\mu} \end{align}$

より(18.34)の上段の式になる．同様に，P598の5番目の2式から $\mathbf{P}$ を消去し， $v/c$ の1次までを残すと

$\begin{align} \mathbf{M} = \frac{\chi'_m}{\mu_0}\left( \mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\mathbf{E}\right) - \epsilon_0\chi_e\mathbf{v}\times\mathbf{E} \end{align}$

であり，

$\begin{align} \frac{\chi'_m}{\mu_0}=\frac{1}{\mu_0}-\frac{1}{\mu} \end{align}$

$\begin{align} -\frac{1}{c^2} \frac{\chi'_m}{\mu_0} - \epsilon_0\chi_e = -\frac{1}{c^2\mu_0}+\frac{1}{c^2\mu} -(\epsilon-\epsilon_0)=-\left(\epsilon-\frac{1}{c^2\mu}\right) \end{align}$

であるから(18.34)の下段の式になる．

　 $\mathbf{J}'=g\mathbf{E}'$ の両辺をローレンツ変換すると

$\begin{align} \gamma(\mathbf{J}_\parallel-\varrho\mathbf{v})=g\mathbf{E}_\parallel,\quad \mathbf{J}_\perp =g \gamma (\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp) \end{align}$

となるので，

$\begin{align} \mathbf{J}_\parallel-\varrho\mathbf{v} + \mathbf{J}_\perp = g \gamma (\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp) +\frac{g}{\gamma}\mathbf{E}_\parallel \end{align}$

すなわち

$\begin{align} \mathbf{J}-\varrho\mathbf{v}&=g \gamma (\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) +\frac{g\gamma}{\gamma^2}\mathbf{E}_\parallel \\ &= g \gamma \left(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}-\frac{v^2}{c^2}\mathbf{E}_{\parallel}\right) \end{align}$

となる．

　18.14節．(18.35)はファラデイの法則とアンペールマクスウェルの法則を使って

$\begin{align} \dot{u}^{\rm em} &= \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{E}}+\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}\cdot\dot{\mathbf{B}} \\ &= c^2\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot[\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}-\mu_0(\mathbf{J}+\mathbf{J}^{\mathrm b})] -\frac{1}{\mu_0} \mathbf{B}\cdot(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}) \\ &= -(\mathbf{J}+\mathbf{J}^{\mathrm b})\cdot\mathbf{E} +\frac{1}{\mu_0}[ \mathbf{E}\cdot(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) -\mathbf{B}\cdot(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E})] \\ &= -(\mathbf{J}+\mathbf{J}^{\mathrm b})\cdot\mathbf{E} -\pmb{\nabla} \cdot\mathbf{S}^{\rm em} \end{align}$

となる．ここで $\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{A}\times\mathbf{B})=\mathbf{B}\cdot\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}-\mathbf{A}\cdot\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}$ を使った．

　等温，等積の場合， $dT=0$ , および $dV/V=-dN/N$ から $dN=0$ となるので，

$\begin{align} df = \mathbf{E}\cdot d\mathbf{P}-\mathbf{M}\cdot d\mathbf{B} \end{align}$

であり，これを積分するとP599の $f$ の表式になる．また

$\begin{align} du^{\rm em}=\epsilon_0 \mathbf{B}\cdot d\mathbf{E} + \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{B} \end{align}$

であるから， $df$ の式と合わせると

$\begin{align} du &= du^{\rm em}+ df \\ &= \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot d\mathbf{E} + \mathbf{E}\cdot d\mathbf{P} + \frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{B} - \mathbf{M}\cdot d\mathbf{B} \\ &= \mathbf{E}\cdot d\mathbf{D} + \mathbf{H} \cdot d\mathbf{B} \end{align}$

となり，積分すると(18.36)になる．

　等温変化の場合

$\begin{align} df = \frac{\pi}{N}dN +\mathbf{E}\cdot d\mathbf{P}-\mathbf{M}\cdot d\mathbf{B} \end{align}$

であるから

$\begin{align} \dot{f}= \mathbf{E} \cdot \dot{\mathbf{P}} - \mathbf{M}\cdot \dot{\mathbf{B}} + \frac{\pi}{N}\dot{N} \end{align}$

となり， $\dot{\mathbf{P}}=\mathbf{J}^{\mathrm b}-\pmb{\nabla}\times \mathbf{M}$ , $\dot{\mathbf{B}}=-\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}$ より

$\begin{align} \dot{f} &= \mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot \mathbf{E} -\mathbf{E}\cdot\pmb{\nabla}\times\mathbf{M}+\mathbf{M}\cdot(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}) + \frac{\pi}{N}\dot{N} \\ &= \mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot \mathbf{E} -\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h + \frac{\pi}{N}\dot{N} \end{align}$

となる．

　一方(18.35), (18.37)を使うと

$\begin{align} \dot{u} &= \dot{u}^{\rm em}+\dot{f} \\ &= -(\mathbf{J}+\mathbf{J}^{\mathrm b})\cdot\mathbf{E} -\pmb{\nabla} \cdot\mathbf{S}^{\rm em} +\mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot \mathbf{E} -\pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h + \frac{\pi}{N}\dot{N} \\ &= -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} - \pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{S}^{\rm em}+\mathbf{S}^h) +\frac{\pi}{N}\dot{N} \\ &= -\mathbf{E}\cdot\mathbf{J} - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S} +\frac{\pi}{N}\dot{N} \end{align}$

になり，(18.39)を満たす．

　全力学的エネルギー密度 $u^{\rm mech}=f+Ts$ の微分は

$\begin{align} du^{\rm mech} &= df + Tds + sdT \\ &= Tds + \frac{\pi}{N}dN +\mathbf{E}\cdot d\mathbf{P}-\mathbf{M}\cdot d\mathbf{B} \end{align}$

である．これから

$\begin{align} \dot{u}^{\rm mech}&= T\dot{s} + \frac{\pi}{N}\dot{N}+\mathbf{E}\cdot\dot{\mathbf{P}} -\mathbf{M}\cdot\dot{\mathbf{B}} \\ &= T\dot{s} + \frac{\pi}{N}\dot{N}+\mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot\mathbf{E} - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h \end{align}$

となる．

　単位体積あたりのジュール熱を $Tds = \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} dt$ とすると

$\begin{align} du^{\rm mech} = \mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot\mathbf{E} - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h + \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} dt + \frac{\pi}{N}dN \end{align}$

$\begin{align} \dot{u}^{\rm mech} = \mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot\mathbf{E} - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h+ \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} + \frac{\pi}{N}\dot{N} \end{align}$

になる．電磁場のエネルギーと力学的エネルギーを加えた全エネルギー密度 $u^{\rm tot}$ は，

$\begin{align} \dot{u}^{\rm tot} &=\dot{u}^{\rm em}+\dot{u}^{\rm mech} \\ &= -(\mathbf{J}+\mathbf{J}^{\mathrm b})\cdot\mathbf{E} -\pmb{\nabla} \cdot\mathbf{S}^{\rm em} +\mathbf{J}^{\mathrm b}\cdot\mathbf{E} - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S}^h+ \mathbf{J}\cdot\mathbf{E} + \frac{\pi}{N}\dot{N} \\ &= - \pmb{\nabla}\cdot \mathbf{S} + \frac{\pi}{N}\dot{N} \end{align}$

になる．