電磁気学の基礎 II （その50） 18.16

$\begin{align} \mathbf{f}_L &=\varrho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} \\ &= (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} + (\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}-\dot{\mathbf{D}})\times\mathbf{B} \\ &= (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} -\mathbf{B}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}) - \frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) + \mathbf{D}\times\dot{\mathbf{B}} \\ &=(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} -\mathbf{D}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}) +(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{H}-\mathbf{B}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}) -\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) \end{align}$

と変形できる．最後の等式でファラデイの法則を使った．磁荷を仮定すると $(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{H}$ は0ではない．これは

$\begin{align} \mathbf{f}_L = \varrho \mathbf{E}+\mathbf{J}\times\mathbf{B} + \mu_0(\varrho_m \mathbf{H}-\mathbf{J}_m\times\mathbf{D}) \end{align}$

であった場合に相当する．このときのマクスウェル方程式は

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{E} + \dot{\mathbf{B}}=-\mu_0 \mathbf{J}_m,\ \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}=\mu_0 \varrho_m,\ \pmb{\nabla}\times\mathbf{H}-\dot{\mathbf{D}}=\mathbf{J},\ \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D}=\varrho \end{align}$

である．実際，このとき

$\begin{align} \mathbf{f}_L &= (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} -\mathbf{B}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}) -\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) + \mathbf{D}\times\dot{\mathbf{B}}\\ &\ + (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{H}+(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E} + \dot{\mathbf{B}})\times\mathbf{D} \\ &= (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} -\mathbf{B}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}) -\frac{\partial}{\partial t}(\mathbf{D}\times\mathbf{B}) \\ &\ + (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{H}-\mathbf{D}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E}) \end{align}$

となる．

　磁荷がない場合に戻って， $\mathbf{f}_L$ の式の右辺第1, 2項を書き直す．

$\begin{align} &\ (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{D})\mathbf{E} - (\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{D}+(\mathbf{D}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{E} \\ &=\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{D}\mathbf{E}) - (\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{D} \\ &= \pmb{\nabla}\cdot\left(\mathbf{D}\mathbf{E}-\frac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\right) +\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{D})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{D}] \\ &= \pmb{\nabla}\cdot\left(\mathbf{D}\mathbf{E}-\frac{1}{2}\mathbf{D}\cdot\mathbf{E}\right) +\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P}] \end{align}$

右辺第3, 4項は，第1, 2項で $\mathbf{D}\to \mathbf{B}, \mathbf{E}\to\mathbf{H}$ としたものなので，

$\begin{align} &\ (\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B})\mathbf{H} - (\pmb{\nabla}\mathbf{H})\cdot\mathbf{B}+(\mathbf{B}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{H} \\ &= \pmb{\nabla}\cdot\left(\mathbf{B}\mathbf{H}-\frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{H}\right) -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M} -(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}] \end{align}$

となる．そこで(18.44)のように定義するとP603の一番下の式が得られる．

　P604の $\mathbf{f}_A$ と $\mathbf{f}''$ は

$\begin{align} \mathbf{f}_A+\mathbf{f}'' = \pmb{\nabla}\cdot \mathsf{T}-\dot{\mathbf{g}} - \mathbf{f}_L -\mathbf{f}' = \pmb{\nabla}\cdot (\mathsf{T}-\mathsf{T}_M)-\dot{\mathbf{g}}+ \dot{\mathbf{g}}_M \end{align}$

であり， $\mathbf{f}_A$ は

$\begin{align} \mathbf{f}_A &= \dot{\mathbf{g}}_M-\dot{\mathbf{g}} \\ &= \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{D}\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\mathbf{E}\times\mathbf{H}\right) \\ &= \frac{\partial}{\partial t}\left[ (\epsilon_0 \mathbf{E}+\mathbf{P})\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2} \left(\mathbf{E}\times \left(\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B}-\mathbf{M}\right)\right)\right] \\ &= \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{P}\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\mathbf{E}\right) \end{align}$

より， $\mathbf{f}''$ は

$\begin{align} \mathbf{f}'' &= \pmb{\nabla}\cdot (\mathsf{T}-\mathsf{T}_M) \\ &= -\frac{1}{2}\pmb{\nabla}(\mathbf{D}\cdot\mathbf{E} + \mathbf{B}\cdot\mathbf{H}) + \pmb{\nabla}(u-\pi) \\ &= -\pmb{\nabla}(\pi - u_{\rm nl}) \end{align}$

となる．

　線形物質では $\mathbf{D}=\epsilon\mathbf{E}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}, \mathbf{H}=\mathbf{B}/\mu=\mathbf{B}/{\mu_0}-\mathbf{M}$ であるから

$\begin{align} \mathbf{P}=(\epsilon-\epsilon_0)\mathbf{E},\ \ \mathbf{M}=\left(\frac{1}{\mu_0}-\frac{1}{\mu}\right)\mathbf{B} \end{align}$

より

$\begin{align} \mathbf{f}' = -\frac{1}{2}E^2 \pmb{\nabla}\epsilon + \frac{1}{2}B^2 \pmb{\nabla}\frac{1}{\mu} \end{align}$

になる．一様な物質であればこれらの項は0になる．このとき

$\begin{align} \mathbf{g}=\frac{1}{c^2\mu}\mathbf{E}\times\mathbf{B},\quad \mathbf{g}_M= \epsilon \mathbf{E}\times\mathbf{B} \end{align}$

で， $\epsilon, \mu$ が定数であればこれらは比例関係にあるので， $\mathbf{g}_M$ が保存される運動量になる．

　P605の最初の式は

$\begin{align} &\ \mathbf{f}_A+\mathbf{f}'+\mathbf{f}'' \\ &= \frac{\partial}{\partial t}\left( \mathbf{P}\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\mathbf{E}\right) \\ &\ -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P}] -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}-(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M} ] \\ &\ -\pmb{\nabla}(\pi - u_{\rm nl}) \\ &= \dot{\mathbf{P}}\times\mathbf{B}+\mathbf{P}\times\dot{\mathbf{B}}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\dot{\mathbf{E}} -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P}] \\ &\ -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}-(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M} ] -\pmb{\nabla}(\pi - u_{\rm nl}) \end{align}$

であり，第2, 5, 6項はファラデイの法則より

$\begin{align} &\ \mathbf{P}\times\dot{\mathbf{B}} -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P}] \\ &= -\mathbf{P}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{E})-\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} -(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P}] \\ &= \mathbf{P}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E}-(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P} -\frac{1}{2}(\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E} +\frac{1}{2}(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P} \\ &= \mathbf{P}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E} -\frac{1}{2}[ (\pmb{\nabla}\mathbf{P})\cdot\mathbf{E}+(\pmb{\nabla}\mathbf{E})\cdot\mathbf{P} ] \\ &= \mathbf{P}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E} -\frac{1}{2}\pmb{\nabla}(\mathbf{P}\cdot\mathbf{E}) \end{align}$

となる．また第4項目について

$\begin{align} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\dot{\mathbf{E}} &= -\frac{1}{c^2\epsilon_0}\mathbf{M}\times(\dot{\mathbf{D}}-\dot{\mathbf{P}}) \\ &= -\mu_0 \mathbf{M}\times (\pmb{\nabla}\times\mathbf{H}+\pmb{\nabla}\times\mathbf{M}) \\ &= -\mu_0 \mathbf{M}\times (\frac{1}{\mu_0}\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}-\pmb{\nabla}\times\mathbf{M}+\pmb{\nabla}\times\mathbf{M}) \\ &= -\mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) \\ &= \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B}-\pmb{\nabla}\mathbf{B}\cdot\mathbf{M} \end{align}$

となる．ここで

$\begin{align} \mathbf{D}=\epsilon_0\mathbf{E}+\mathbf{P}, \quad \dot{\mathbf{P}}=J^M=\pmb{\nabla}\times\mathbf{M} \end{align}$

およびアンペールマクスウェルの法則

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times \mathbf{H} -\dot{\mathbf{D}} = 0 \end{align}$

を使った．第4項目の結果と第7, 8項目より

$\begin{align} &\ \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B}-\pmb{\nabla}\mathbf{B}\cdot\mathbf{M}-\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}-(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M} ] \\ &= \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} -\frac{1}{2}[(\pmb{\nabla}\mathbf{M})\cdot\mathbf{B}+(\pmb{\nabla}\mathbf{B})\cdot\mathbf{M} ] \\ &= \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} -\frac{1}{2}\pmb{\nabla}(\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}) \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} &\ \mathbf{f}_A+\mathbf{f}'+\mathbf{f}'' \\ &= \mathbf{P}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E} + \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} + \dot{\mathbf{P}}\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} -\frac{1}{2}\pmb{\nabla} ( \mathbf{P}\cdot\mathbf{E} + \mathbf{M}\cdot\mathbf{B} ) -\pmb{\nabla}(\pi-n_{\rm nl}) \\ &=\mathbf{P}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{E} + \mathbf{M}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{B} + \dot{\mathbf{P}}\times\mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} -\pmb{\nabla} p \end{align}$

となる．右辺第1, 2項はケルヴィン力で，それぞれ

$\begin{align} \varrho^P \mathbf{E} + \varrho^M_m \mathbf{B} \end{align}$

になる．第3, 4項は， $\dot{\mathbf{P}}=\mathbf{J}^P$ , $\mathbf{J}_m^M=\dot{\mathbf{M}}$ として，

$\begin{align} \mathbf{J}^P\times \mathbf{B} -\frac{1}{c^2}\mathbf{J}_m^M\times\mathbf{E} \end{align}$

になる，としている． $\mathbf{J}_m^M=\dot{\mathbf{M}}$ は10.3節で定義した，と書いてあるが，どこを探しても定義がない．

　最後の式は

$\begin{align} -(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{M})\mathbf{B} - \frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} &=(\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})\times\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\dot{\mathbf{E}} \end{align}$

となる．右辺の最後の項は， $\dot{\mathbf{P}}=\mathbf{J}^M$ とすると，

$\begin{align} -\frac{1}{c^2}\mathbf{M}\times\dot{\mathbf{E}} &= -\mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) \end{align}$

となるから，右辺は

$\begin{align} (\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})\times\mathbf{B}-\frac{1}{c^2}\dot{\mathbf{M}}\times\mathbf{E} - \mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) \end{align}$

である．ここで10章で示した式により

$\begin{align} -(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{M})\mathbf{B} &= (\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})\times\mathbf{B} - \mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) +\pmb{\nabla}(\mathbf{M}\cdot\mathbf{B}) \\ &\ -\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{B}\mathbf{M})-\pmb{\nabla}\cdot(\mathbf{M}\mathbf{B})+\mathbf{M}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}) \end{align}$

であるから， $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}=0$ および全微分項を除けば

$\begin{align} -(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{M})\mathbf{B} = (\pmb{\nabla}\times\mathbf{M})\times\mathbf{B} - \mathbf{M}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}) \end{align}$

である．