電磁気学の基礎 II （その34） 17.5.1, 17.5.2, 17.5.3

　17.5.1節．ハイゼンベルクはガンマ線顕微鏡を思考実験に使ったとし，その直後に口述試験の逸話を載せるのは意味深である．

　17.5.2節．量子力学の定番である調和振動子の，ブラケット記法による解法．P546の最初の式は

$\begin{align} N a^\dagger |n\rangle = a^\dagger aa^\dagger |n\rangle = a^\dagger (a^\dagger a +1)|n\rangle = (n+1)a^\dagger|n\rangle \end{align}$

が正しい．

　17.5.3節．量子力学の摂動計算．ハミルトン関数の右辺第3項は電位の基準点を原点にとって

$\begin{align} -e\phi(z) = -e \cdot(-1)\int_0^z dz' E = e E z \end{align}$

としている．一方，右辺第2項は無限遠の電位を0にとっている．項ごとに電位の基準を変えてもよいのだろうか？定数項の差しかないから問題ないということか．

　(17.29)に $\varepsilon^{(1)}=0, a_0=4\pi\epsilon_0\hbar^2/(me^2)$ と $\varepsilon^{(0)}$ を代入すると

$\begin{align} \left(\nabla^2+\frac{2}{a_0 r}-\frac{1}{a_0^2}\right)\psi^{(1)} = \frac{8\pi\epsilon_0 z}{a_0 e} \psi^{(0)} \end{align}$

になり，球座標で表すとP548の最初の式になる．両辺の $\theta$ 依存性をみると，右辺は $\cos\theta$ に比例しているので， $\psi^{(1)}$ も $\cos\theta$ に
比例していなければならない．

　 $g$ の式に対して $g=\sum_n g_n r^n$ によって展開すると

$\begin{align} \sum_n\left[ [n(n+1)-2]g_n r^{n-2} -\frac{2}{a_0} ng_n r^{n-1} \right] = \frac{8\pi\epsilon_0}{a_0 e} \frac{r}{\sqrt{\pi a_0^3}} \end{align}$

になる． $r^{1}$ の係数は $10g_3-(4/a_0)g_2$ , $r^0$ の係数は $4g_2-2g_1/a_0$ である． $g_n=0 (n\geq 3)$ としてよいので，

$\begin{align} g_2 = -\frac{a_0}{4} \frac{8\pi\epsilon_0}{a_0 e} \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}} =- \frac{2\pi\epsilon_0}{e} \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}, g_1 = 2a_0 g_2 \end{align}$

となる． $r^{-1}$ の係数は0であり， $r^{-2}$ の係数は $-2g_0+2g_{-1}/a_0$ となるので， $g_n=0 (n\leq 0)$ としてよい．よって

$\begin{align} g = g_1 r + g_2 r^2 = - \frac{1}{\sqrt{\pi a_0^3}}\frac{4\pi\epsilon_0}{e} \left( a_0 r + \frac{1}{2}r^2\right) \end{align}$

となり，これから $\psi$ が得られる．双極子モーメントは

$\begin{align} p &= \int dV z\varrho_e \\ &= \frac{8\pi \epsilon_0 E}{\pi a_0^3} \int dV e^{-2r/a_0} \left(a_{0} r+\frac{1}{2} r^{2}\right) z\cos \theta \\ &= \frac{8\epsilon_0 E}{a_0^3}\cdot2\pi \int_0^\infty r^4 e^{-2r/a_0} \left(a_{0}+\frac{1}{2} r\right) \int_0^\pi d\theta \sin\theta\cos^2\theta \\ &= \frac{32\pi \epsilon_0 E}{3 a_0^3} \int_0^\infty r^4 e^{-2r/a_0} \left(a_{0}+\frac{1}{2} r\right) \\ &= \frac{32\pi \epsilon_0 E}{3 a_0^3} \left(\frac{15}{8}+\frac{15}{16}\right)a_0^6=\frac{32\pi \epsilon_0 E}{3 a_0^3} \frac{27a_0^6}{16} \\ &= 18 \pi \epsilon_0 a_0^3 E \end{align}$

となる．