電磁気学の基礎 II （その36） 17.6.3, 17.6.4

　17.6.3節．ハミルトン関数は

$\begin{align} \frac{p_x^2}{2m} + \frac{m\omega_c^2}{2}\left(x-\frac{p_y}{\hbar k_y}x_0\right)^2 + \frac{p_z^2}{2m} \end{align}$

と書き直せる．

$\begin{align} H\psi &= \left( -\frac{\hbar^2}{2m}\partial_x^2 + \frac{m\omega_c^2}{2}(x-x_0)^2+\frac{\hbar^2k_z^2}{2m}\right)\psi \end{align}$

によって $u(x-x_0)$ は

$\begin{align} -\frac{h^2}{2m}\partial_x^2u(x-x_0)+\frac{m\omega_c^2}{2}(x-x_0)^2 u(x-x_0) = \varepsilon' u(x-x_0) \end{align}$

という調和振動子の固有関数になっている．これから $H$ の固有値が(17.36)になる．

　P557の最初の式の結果は次のようして考えることもできる．磁場がないときのエネルギーは

$\begin{align} \frac{\hbar^2(k_x^2+k_y^2)}{2m} = \frac{(2\pi)^2 \hbar^2(n_x^2+n_y^2)}{2mL^2} = \frac{h^2(n_x^2+n_y^2)}{2mS} \end{align}$

で，磁場があると半径の二乗が $\hbar\omega_c$ である円内の状態が縮退する．すなわち

$\begin{align} \frac{h^2(n_x^2+n_y^2)}{2mS} = \pi \hbar\omega_c,\qquad n_x^2+n_y^2 = \frac{\omega_c mS}{h}=\frac{eBS}{h} \end{align}$

が縮退度になる．

　17.6.4節．ゲージ変換はユニタリー変換の一種である．

　P559の $p'_1, q'_1$ より

$\begin{align} H(\mathbf{A}') =\frac{p'^2_1}{2m}+\frac{m\omega_c^2 q'^2_1}{2}+\frac{p_z^2}{2m} \end{align}$

である．

　 $\zeta, p_\zeta$ を定義すると

$\begin{align} x &= \frac{1}{\sqrt{2}}(\zeta+\zeta^\dagger),\quad y = \frac{i}{\sqrt{2}}(\zeta-\zeta^\dagger) \\\\ p_x &= \frac{1}{\sqrt{2}}(p_\zeta+p_\zeta^\dagger),\quad p_y = -\frac{i}{\sqrt{2}}(p_\zeta-p_\zeta^\dagger)\\\\ p'_1 &= \frac{1}{\sqrt{2}}(p_\zeta+p_\zeta^\dagger) -\frac{ieB}{2\sqrt{2}}(\zeta-\zeta^\dagger)\\\\ q'_1 &= \frac{1}{2\sqrt{2}}(\zeta+\zeta^\dagger) -\frac{i}{\sqrt{2}eB}(p_\zeta-p_\zeta^\dagger)\\\\ p'_2 &= -\frac{i}{\sqrt{2}}(p_\zeta-p_\zeta^\dagger) -\frac{eB}{2\sqrt{2}}(\zeta+\zeta^\dagger)\\\\ q'_2 &= \frac{i}{2\sqrt{2}}(\zeta-\zeta^\dagger) +\frac{1}{\sqrt{2}eB}(p_\zeta+p_\zeta^\dagger) \end{align}$

となる．これから $a,b$ の表式を得，

$\begin{align} H&= \frac{1}{2 m}\left(p_{x}-\frac{1}{2} e B y\right)^{2}+\frac{1}{2 m}\left(p_{y}+\frac{1}{2} e B x\right)^{2}+\frac{p_{z}^{2}}{2 m} \\ &= \frac{1}{2 m}\left(p_{x}-m \omega_L y\right)^{2}+\frac{1}{2 m}\left(p_{y}+m \omega_L x\right)^{2}+\frac{p_{z}^{2}}{2 m} \\ &= \frac{p_{x}^{2}}{2 m} + \frac{p_{y}^{2}}{2 m} + \frac{m}{2}\omega_L^2 (x^2+y^2) +\omega_L (xp_y-yp_x) + \frac{p_{z}^{2}}{2 m} \\ &= \frac{p_{x}^{2}}{2 m} + \frac{p_{y}^{2}}{2 m} + \frac{m}{2}\omega_L^2 (x^2+y^2) +\omega_L l_z + \frac{p_{z}^{2}}{2 m} \end{align}$

となる．次に

$\begin{align} p'_1=p_x-\frac{m\omega_c y}{2},\ q'_1=\frac{x}{2}+\frac{p_y}{m\omega_c},\ p'_2=p_y-\frac{m\omega_c x}{2},\ q'_2=\frac{y}{2}+\frac{p_x}{m\omega_c} \end{align}$

であるから

$\begin{align} x=q'_1-\frac{p'_2}{m\omega_c},\ y=q'_2-\frac{p'_1}{m\omega_c},\ p_x = \frac{p'_1}{2}+\frac{m\omega_c q'_2}{2},\ p_y = \frac{p'_2}{2}+\frac{m\omega_c q'_1}{2} \end{align}$

$\begin{align} l_z &= xp_y-yp_x\\ &= \left(q'_1-\frac{p'_2}{m\omega_c}\right)\left(\frac{p'_2}{2}+\frac{m\omega_c q'_1}{2}\right) - \left(q'_2-\frac{p'_1}{m\omega_c}\right)\left(\frac{p'_1}{2}+\frac{m\omega_c q'_2}{2}\right) \\ &= \frac{m\omega_c}{2}(q'^2_1-q'^2_2)+\frac{p'^2_1-p'^2_2}{2m\omega_c} +\frac{1}{2}( [q'_1, p'_2]+[p'_1, q'_2]) \\ &= \frac{m\omega_c}{2}(q'^2_1-q'^2_2)+\frac{p'^2_1-p'^2_2}{2m\omega_c} \end{align}$

となる． $a, b$ の定義は前節の定義で $q_1\to q'_1$ などとしたものであるから，

$\begin{align} \hbar (a^\dagger a-b^\dagger b)= \frac{m\omega_c}{2}(q'^2_1-q'^2_2)+\frac{p'^2_1-p'^2_2}{2m\omega_c} \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} l_z = \hbar (a^\dagger a-b^\dagger b) \end{align}$

を得る． $l_z$ の固有値を $\hbar m_l$ とすると， $a^\dagger a$ の固有値は $n$ ， $b^\dagger b$ の固有値は $l$ であったので， $m_l=n-l$ である．また，

$\begin{align} \frac{p_x^2+p_y^2}{2m} &= \frac{1}{2m}\left[ \left(\frac{p'_1}{2}+m\omega_L q'_2 \right)^2 +\left(\frac{p'_2}{2}+m\omega_L q'_1 \right)^2 \right] \\ &= \frac{p'^2_1+p'^2_2}{8m} +\frac{m\omega_L^2}{2}(q'^2_1+q'^2_2) +\frac{\omega_L}{4}(p'_1 q'_2+q'_2 p'_1 + p'_2 q'_1 + q'_1 p'_2) \end{align}$

$\begin{align} \frac{m\omega_L^2(x^2+y^2)}{2} &= \frac{m\omega_L^2}{2}\left[ \left( q'_1-\frac{p'_2}{2m\omega_L}\right)^2+\left( q'_2-\frac{p'_1}{2m\omega_L} \right)^2\right] \\ &=\frac{m\omega_L^2}{2}(q'^2_1+q'^2_2)+\frac{p'^2_1+p'^2_2}{8m} -\frac{\omega_L}{4}(q'_1 p'_2+ p'_2 q'_1+q'_2 p'_1 +p'_1 q'_2) \end{align}$

より

$\begin{align} \frac{p_x^2+p_y^2}{2m} + \frac{m\omega_L^2(x^2+y^2)}{2} &= \frac{p'^2_1+p'^2_2}{4m} +m\omega_L^2(q'^2_1+q'^2_2) \\ &= \frac{1}{2}\left[ \frac{p'^2_1+p'^2_2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega_c^2 (q'^2_1+q'^2_2) \right] \end{align}$

となるので，この固有値は

$\begin{align} \frac{1}{2}\left[ \hbar\omega_c\left(n+\frac{1}{2}\right) + \hbar\omega_c\left(l+\frac{1}{2}\right) \right] =\hbar\omega_L (n+ l +1) \end{align}$

になる．以上から $H$ の固有値は

$\begin{align} \varepsilon &= \hbar\omega_L(n+l+1)+\hbar \omega_L(n-l)+\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} \\ &= \hbar\omega_L (2n+1)+\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} \\ &= \hbar \omega_c \left(n+\frac{1}{2}\right) +\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m} \end{align}$

になり，ランダウゲージの結果(17.36)に一致する．

　古典論では(9.13)の $\mathbf{K}$ が保存し，円軌道の中心座標は $X=-K_y/(eB), y=K_x/(eB)$ であった．量子論では

$\begin{align} X = -\frac{1}{eB}p'_2,\quad Y=q'_2 \end{align}$

の対応があることがわかる． $p'_2, q'_2$ は前節の $p_2, q_2$ を $p'_2, q'_2$ に置き換えたものに等しいので，

$\begin{align} X = \frac{1}{eB}\sqrt{\frac{\hbar eB}{2}}(b^\dagger+b) = \sqrt{\frac{\hbar}{2eB}} (b+b^\dagger) \end{align}$

$\begin{align} Y = i\sqrt{\frac{\hbar}{2eB}}(-b+b^\dagger) \end{align}$

となる．これから

$\begin{align} [X, Y] = \frac{i\hbar}{2eB}( [b,b^\dagger]-[b^\dagger, b]) = \frac{i\hbar}{eB},\qquad ([b,b^\dagger]=1) \end{align}$

である． $X, Y$ の広がりを $\Delta X, \Delta Y$ とすると，不確定性関係により

$\begin{align} \Delta X \Delta Y \geq \frac{\hbar}{2eB} \end{align}$

である．

$\begin{align} (\Delta X)^2 &= \langle n, l|X^2|n, l\rangle - \langle n, l|X| n, l\rangle ^2 \\ &= \frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| 2b^\dagger b+1 + bb + b^\dagger b^\dagger|n, l\rangle - \frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| b+b^\dagger |n, l\rangle^2 \\ &= \frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| 2b^\dagger b+1 |n, l\rangle \\ &= \frac{\hbar}{eB}\left(l+\frac{1}{2}\right) \end{align}$

$\begin{align} (\Delta Y)^2 &= \langle n, l|Y^2|n, l\rangle - \langle n, l|Y| n, l\rangle ^2 \\ &= -\frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| -2b^\dagger b-1 + bb + b^\dagger b^\dagger|n, l\rangle +\frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| -b+b^\dagger |n, l\rangle^2 \\ &= \frac{\hbar}{2eB} \langle n, l| 2b^\dagger b+1 |n, l\rangle \\ &= \frac{\hbar}{eB}\left(l+\frac{1}{2}\right) \end{align}$

から，(17.41)の等号は $l=0$ のときである．

　次に

$\begin{align} x- X = q'_1-\frac{p'_2}{eB} + \frac{p'_2}{eB} = q'_1, \quad y-Y = q'_2-\frac{p'_1}{eB} - q'_2 =-\frac{p'_1}{eB} \end{align}$

であるので，

$\begin{align} x-X=\sqrt{\frac{\hbar}{2eB}}(a^\dagger+a), \quad y-Y = -i\sqrt{\frac{\hbar}{2eB}}(a^\dagger-a) \end{align}$

となる．これから

$\begin{align} a_c^2 &= \langle n, l|(x-X)^2+(y-Y)^2|n, l\rangle \\ &= \frac{\hbar}{2eB} \langle n, l|(a+a^\dagger)^2-(a-a^\dagger)^2|n, l\rangle \\ &= \frac{\hbar}{eB} \langle n, l|a^\dagger a+ aa^\dagger|n, l\rangle \\ &= \frac{\hbar}{eB} \langle n, l|2a^\dagger a+1|n, l\rangle \\ &= \frac{2\hbar}{eB}\left(n+\frac{1}{2}\right) \end{align}$

になる．

　17章は基本的に前期量子論だと思っていた．ここまでしっかり量子力学を扱うとは思わなかった．