電磁気学の基礎 II （その37） 17.7.1, 17.7.2

　17.7.1節． $q_\lambda, p_\lambda$ は

$\begin{align} \alpha_\lambda=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{V}{\epsilon_0}}\left(q_\lambda + \frac{i}{\omega}p_\lambda\right) \end{align}$

としている．

　 $a_\lambda, a^\dagger_\lambda$ の交換関係は

$\begin{align} [a_{\lambda}(\mathbf{k}), a^\dagger_{\mu}(\mathbf{l})] &= \frac{i}{2\hbar}([ p_\lambda(\mathbf{k}), q_\mu(\mathbf{l})]-[q_\lambda(\mathbf{k}), p_\mu(\mathbf{l})]) \\ &= \frac{i}{2\hbar}( -2i\hbar \delta_{\lambda\mu}\delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}}) = \delta_{\lambda\mu}\delta_{\mathbf{k}\mathbf{l}} \end{align}$

$\begin{align} [a_{\lambda}(\mathbf{k}), a_{\mu}(\mathbf{l})] &= \frac{i}{2\hbar}([ p_\lambda(\mathbf{k}), q_\mu(\mathbf{l})]+[q_\lambda(\mathbf{k}), p_\mu(\mathbf{l})])=0 \\\\ \left[a^\dagger_{\lambda}(\mathbf{k}), a^\dagger_{\mu}(\mathbf{l})\right] &= \frac{-i}{2\hbar}([ p_\lambda(\mathbf{k}), q_\mu(\mathbf{l})]+[q_\lambda(\mathbf{k}), p_\mu(\mathbf{l})])=0 \end{align}$

と計算される．

　17.7.2節．P563の下から2番目の式はハイゼンベルグの運動方程式なので第2式と第3式に $1/\hbar$ がつくはずである．第3式を得るには $[\Pi_i, A]$ がc数であることから

$\begin{align} [ \Pi_j \Pi_j, A] = \Pi_j [\Pi_j, A]+[\Pi_j, A]\Pi_j = 2\Pi_j [\Pi_j, A] \end{align}$

を使う．

　同様に $\Pi_i$ の時間変化は

$\begin{align} \dot{\Pi}_{i}(\mathbf{x}, t)=\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\left[H, \Pi_{i}(\mathbf{x}, t)\right] =\frac{\mathrm{i}}{\mu_{0}\hbar} \int \mathrm{d} V^{\prime} B_{j}\left(\mathbf{x}^{\prime}, t\right)\left[B_{j}\left(\mathbf{x}^{\prime}, t\right), \Pi_{i}(\mathbf{x}, t)\right] \end{align}$

であり，

$\begin{align} [\Pi_i(\mathbf{x}, t), B_j(\mathbf{x}', t)] &= \varepsilon_{jkl}\partial'_k [\Pi_i(\mathbf{x}, t), A_l(\mathbf{x}', t)] \\ &= -i\hbar \varepsilon_{jkl}\partial'_k \delta_{il} \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= -i\hbar \varepsilon_{jki} \partial'_k \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= -i\hbar \varepsilon_{ijk} \partial'_k \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= i\hbar \varepsilon_{ijk} \partial_k \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \end{align}$

より

$\begin{align} \dot{\Pi}_i(\mathbf{x}, t) &= \frac{1}{\mu_0} \varepsilon_{ijk} \int dV' B_j(\mathbf{x}', t)\partial_k \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= -\frac{1}{\mu_0} \varepsilon_{ijk} \int dV' B_j(\mathbf{x}', t)\partial'_k \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= \frac{1}{\mu_0} \varepsilon_{ijk} \int dV' (\partial'_k B_j(\mathbf{x}', t)) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= \frac{1}{\mu_0} \varepsilon_{ijk} \partial_k B_j(\mathbf{x}, t) = -\frac{1}{\mu_0} \varepsilon_{ijk} \partial_j B_k(\mathbf{x}, t) \\ &= -\frac{1}{\mu_0} (\pmb{\nabla}\times\mathbf{B}(\mathbf{x}, t))_i \end{align}$

となる．

　P564の最後の式は

$\begin{align} \mathbf{A}^{\rm T} &=-\nabla^{-2}\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}) \\ &= -\nabla^{-2} [ \pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A})-\nabla^2 \mathbf{A}] \\ &= -\nabla^{-2}\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A})+\mathbf{A} \end{align}$

により得られる． $\Pi^{\rm T}_i$ も同様．これから

$\begin{align} [\Pi_i^T(\mathbf{x}, t), A_j^T(\mathbf{x}', t)] &= (\delta_{ik}-\nabla^{-2}\partial_i\partial_k)(\delta_{jl}-\nabla^{-2}\partial_j\partial_l) [\Pi_k(\mathbf{x}, t), A_l(\mathbf{x}', T)] \\ &= -i\hbar (\delta_{ik}-\nabla^{-2}\partial_i\partial_k)(\delta_{jl}-\nabla^{-2}\partial_j\partial_l) \delta_{kl}\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \\ &= -i\hbar (\delta_{ik}-\nabla^{-2}\partial_i\partial_k)(\delta_{jk}-\nabla^{-2}\partial_j\partial_k) \delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}') \end{align}$

となる．．最初の括弧内は $\mathbf{x}$ に，2番目の括弧内は $\mathbf{x}'$ にかかる． $\nabla^2_x f(\mathbf{x}-\mathbf{x}')=\nabla^2_{x'} f(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$ であるから，その逆演算子も $\nabla^{-2}_x f(\mathbf{x}-\mathbf{x}')=\nabla^{-2}_{x'} f(\mathbf{x}-\mathbf{x}')$ を満たす．そこで2番目の括弧内も
$\mathbf{x}$ にかかると考えることもできる．

$\begin{align} (\delta_{ik}-\nabla^{-2}\partial_i\partial_k)(\delta_{jk}-\nabla^{-2}\partial_j\partial_k) &= \delta_{ij}-2\nabla^{-2}\partial_i \partial_j +\nabla^{-2}\nabla^{-2}\partial_k\partial_k \partial_i \partial_j \\ &= \delta_{ij}-2\nabla^{-2}\partial_i \partial_j +\nabla^{-2} \partial_i \partial_j \\ &= \delta_{ij}-\nabla^{-2}\partial_i \partial_j \end{align}$

より

$\begin{align} \left[\Pi_{i}^{\mathrm{T}}(\mathbf{x}, t), A_{j}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{x}^{\prime}, t\right)\right]=-\mathrm{i} \hbar\left(\delta_{i j}-\nabla^{-2} \partial_{i} \partial_{j}\right) \delta\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right)=-\mathrm{i} \hbar \delta_{i j}^{\mathrm{T}}\left(\mathbf{x}-\mathbf{x}^{\prime}\right) \end{align}$

となる．