電磁気学の基礎 I （その33） 8.1, 8.2, 8.3, 8.4

「電磁気学の基礎 I」太田浩一著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

　8.1節．P173下から2番目の式がわかりにくい．正方形を $xy$ 平面におき，中心を原点に，各辺を $x, y$ 軸に平行になるように座標を設定する．電流の向きを $z$ 軸の上からみて反時計回りであるとする． $x$ 軸に平行な直線上の点 $(x', \pm l/2, 0)$ が $(x, y, z)$ につくるベクトルポテンシャルから

$\begin{align} A_x &= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{-l/2}^{l/2} dx' \\ &\ \times \left\{-\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y-l/2)^2+z^2}} +\frac{1}{\sqrt{(x-x')^2+(y+l/2)^2+z^2}} \right\} \\ &= \frac{\mu_0 I}{4\pi} \int_{x-l/2}^{x+l/2} dx' \left\{-\frac{1}{\sqrt{x'^2+(y-l/2)^2+z^2}} +\frac{1}{\sqrt{x'^2+(y+l/2)^2+z^2}} \right\} \\ &\qquad\qquad(x'\to x'+x) \end{align}$

になる．不定積分（原始関数)を $f(x)$ とおくと，小さい $l$ に対して

$\begin{align} \int_{x-l/2}^{x+l/2} dx' f'(x') = f(x+l/2)-f(x-l/2) = l f'(x) \end{align}$

が成り立つのでP173の下から2番目の式になる．説明なしにこの式を与えるのはちょっと不親切である．

　(8.7)の2段目の式を確かめるには，成分表示で

$\begin{align} \partial'_i(x_jx'_jJ_i)=x_j x'_j\partial'_iJ_i+x_j \delta_{ij} J_i=x_j x'_j\partial'_iJ_i+x_i J_i \end{align}$

による．(8.7)2段目の式で再び電荷保存則を使うと第1項目は消える．

　電気双極子モーメントは座標原点の取り方に依存するが、磁気モーメントは $\mathbf{x}'=\mathbf{x}-\mathbf{a}$ として

$\begin{align} \int dV \mathbf{x}\times\mathbf{J}(\mathbf{x})=\int dV' (\mathbf{x}'+\mathbf{a})\times\mathbf{J}(\mathbf{x}'+\mathbf{a}) = \int dV' \mathbf{x}'\times\mathbf{J}(\mathbf{x}'+\mathbf{a}) \end{align}$

となるから座標原点のとりかたによらない。

　8.2節．P177の(8.14)の下の式は

$\begin{align} A_k(\mathbf{x})&=-\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{1}{2}\partial_i \partial_j \frac{1}{|\mathbf{x}|} (\varepsilon_{kin}(\mathsf{q}_{\rm m})_{jn}+\varepsilon_{kjn}(\mathsf{q}_{\rm m})_{in}) \\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\partial_i \partial_j \frac{1}{|\mathbf{x}|} \varepsilon_{kin}(\mathsf{q}_{\rm m})_{jn} \\ &= -\frac{\mu_0}{4\pi} \pmb{\nabla} \times\left(\pmb{\nabla}\cdot\frac{\mathsf{q}_{\rm m}}{|\mathbf{x}|}\right) \end{align}$

によって得られる．

　8.3節．結局 $\mathbf{H}$ にはどんな意味があるのかがわからない．いまだに多くの本で使われている理由を知りたい．

　8.4節．(8.24)の下の式と，(8.25)は $\pmb{\nabla}$ を $\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}}$ に変えてから積分を行う．(8.27)上の式も同様で，その後に部分積分してから

$\begin{align} &\ -(\partial_i B_i) \varepsilon_{jkl} x_k m_l - m_i B_i \varepsilon_{jkl} \partial_k x_l + \varepsilon_{jkl} x_k \partial_l (m_i B_i) \\ &= -\varepsilon_{jkl} x_k m_l \partial_i B_i - \varepsilon_{jkl} B_k m_l + \varepsilon_{jkl} x_k \partial_l (m_i B_i)\\ &= -(\mathbf{x}\times\mathbf{m})_j \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}-(\mathbf{B}\times\mathbf{m})_j+(\mathbf{x}\times\pmb{\nabla})_j \mathbf{m}\cdot\mathbf{B} \end{align}$

により2段目の式になる．

　真空中でも $\mathbf{B}=\mu_0 \mathbf{H}$ にならない場合があるのは $\mathbf{E}, \mathbf{D}$ の場合と同様．