電磁気学の基礎 II （その20） 14.8, 14.9

　14.8節．荷電粒子による電気双極子モーメントはP433でみたように $\mathbf{p}=-e\mathbf{z}$ で与えられるので，

$\begin{align} [\ddot{\mathbf{p}}] = \frac{\omega^2 e^2}{m(\omega^2-\omega_0^2-i\gamma\omega)} \mathbf{E}_0 e^{-i\omega (t-r/c)} \end{align}$

となる．これを(14.14)に代入すると $dP$ の表式を得る．

　電磁波の入射方向 $\mathbf{n}_0$ を $z$ 軸に選び、放射電磁波の進行方向 $\mathbf{n}$ を球座標で表す。 $\mathbf{E}_0$ は $xy$ 平面上にあるので、 $\mathbf{E}_0$ と $x$ 軸とのなす角を $\psi$ とする。

$\begin{align} \mathbf{n}=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta),\qquad \mathbf{E}_0=E_0(\cos\psi,\sin\psi,0) \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{n}\cdot\mathbf{E}_0 = E_0\cos\vartheta=E_0\sin\theta\cos(\varphi-\psi) \end{align}$

$\begin{align} \cos\vartheta=\sin\theta\cos(\varphi-\psi),\quad \sin^2\vartheta = 1-\cos^2\vartheta=1-\sin^2\theta\cos^2(\varphi-\psi) \end{align}$

入射波が偏極していない場合は $\psi$ について平均を取る。

$\begin{align} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\psi \sin^2\vartheta &= 1-\frac{\sin^2\theta}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\psi \cos^2(\phi-\psi) \\ &= 1-\frac{\sin^2\theta}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos^2\theta) \end{align}$

これから

$\begin{align} \frac{d\sigma}{d\Omega}&=r_e^2 \frac{\omega^4}{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2} \frac{1}{2}(1+\cos^2\theta) \\ &= \sigma \frac{3}{16\pi}(1+\cos^2\theta) \end{align}$

を得る．自由電子( $\omega_0=0$ )の場合

$\begin{align} \frac{d\sigma}{d\Omega}= \sigma_e \frac{3}{16\pi}(1+\cos^2\theta) \end{align}$

から

$\begin{align} \sigma = \int d\Omega \frac{d\sigma}{d\Omega}=\sigma_e \frac{3}{16\pi} \left(4\pi+\frac{4}{3}\pi\right)=\sigma_e \end{align}$

となり、トムソンの散乱断面積を得る。

　P445. 半径 $a$ の導体球による散乱断面積は、誘導される双極子モーメントが $\mathbf{p}=\epsilon_0 \alpha \mathbf{E}$ 、 $\alpha=4\pi a^3$ であるから、

$\begin{align} \frac{e^4 \omega^4}{m^2\{(\omega^2-\omega_0^2)^2+\gamma^2\omega^2\}} \to (\epsilon_0\alpha)^2 \end{align}$

と置き換えればよい。これから(14.41)を得る．

　14.9節．(14.41)と(5.25)から

$\begin{align} h &= N\sigma = \frac{N\mu_0^2 \omega^4}{6\pi}(\epsilon_0\alpha)^2 =\frac{N\mu_0^2 \omega^4 \epsilon_0^2}{6\pi} \left[4\pi a^3 \frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}\right]^2 \\ &= \frac{128\pi^5N a^6}{3 \lambda^4} \left( \frac{\epsilon-\epsilon_0}{\epsilon+2\epsilon_0}\right)^2 \end{align}$

であり， $n^2=\epsilon_r = \epsilon/\epsilon_0$ , $(4\pi a^3/3)N=1$ であるから

$\begin{align} h = \frac{128\pi^5N}{3 \lambda^4}\frac{9}{16\pi^2 N^2} \left( \frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^2 =\frac{24\pi^3}{N\lambda^4} \left( \frac{n^2-1}{n^2+2}\right)^2 \end{align}$

になる． $n$ が1に近いときは, $(n-1)^2$ 因子以外の部分に $n=1$ を入れる．

$\begin{align} h\cong \frac{24\pi^3}{N\lambda^4}\cdot\frac{4}{9} \left(n-1\right)^2=\frac{32\pi^3(n-1)^2}{3N\lambda^4} \end{align}$

(5.25)から

$\begin{align} \alpha=\frac{3}{N}\frac{n^2-1}{n^2+2} \cong \frac{2(n-1)}{N}\end{align}$

を使うと(14.42)を得る．

　後半．クラウジウス・モソッティの式は電気感受率と単位体積あたりの双極子数 $N$ とを結びつける式である．単位体積あたりの双極子数が $\Delta N$ だけ変化すると，電気感受率の変化は

$\begin{align} \Delta \chi_e = \frac{\partial \chi_e}{\partial N}\Delta N \end{align}$

である．一方，体積 $v$ の中の双極子数が $\Delta N$ だけ変化した場合，これは単位体積あたり $\Delta N/v$ だけ双極子数が変化したことになる．この場合は

$\begin{align} \Delta \chi_e = \frac{\partial \chi_e}{\partial N} \frac{\Delta N}{v} \end{align}$

になる．これより $v$ の中に $\Delta \mathbf{p}$ の双極子モーメントが生じる．各体積要素からの散乱を加えた確率を計算するには $\sum_i \Delta \ddot{\mathbf{p}}|^2$ を計算すればよい．上式の分極率は

$\begin{align} \frac{(\epsilon_r-1)(\epsilon_r+2)}{3N} \Delta N_i \end{align}$

を意味するから，これをレイリーの散乱断面積

$\begin{align} \sigma=\frac{\mu_0^2 \omega^4}{6\pi}(\epsilon_0\alpha)^2 = \frac{\omega^4}{6\pi c^4}\alpha^2 =\frac{8\pi^3}{3\lambda^4}\alpha^2 \end{align}$

の $\alpha$ に入れて体積要素の和を取ると，P448の最初の式を得る．粒子数ゆらぎは等温圧縮率で表すことができるので，P448の最後の式になる．理想気体の場合， $\epsilon_r=1, \kappa_T=1/p$ なので，理想気体に近い希薄気体では(14.42)になる．