電磁気学の基礎 II （その19） 14.6, 14.7

　14.6節．(12.65)の磁場のエネルギーを求める．

$\begin{align} \frac{1}{2\mu_0} \int dV B^2 &= \frac{\mu_0 q^2}{32\pi^2} \int dV \frac{(\mathbf{v}\times\mathbf{R})^2}{R^6} \\ &= \frac{\mu_0 q^2}{32\pi^2} \int dV \frac{v^2R^2-(\mathbf{v}\cdot\mathbf{R})^2}{R^6} \end{align}$

ここで，積分変数を $\mathbf{x}$ から $\mathbf{R}$ に変数変換すれば， $dV= R^2 \sin\theta dR\, d\theta\, d\varphi$ になるので

$\begin{align} \frac{1}{2\mu_0} \int dV B^2 &= \frac{\mu_0 q^2 v^2}{32\pi^2} \int_a^{\infty} dR \int_0^\pi d\theta \sin \theta \int_0^{2\pi} d\varphi \frac{1-\cos^2\theta}{R^2} \\ &= \frac{\mu_0 q^2 v^2}{12\pi} \int_a^{\infty} \frac{dR}{R^2} = \frac{\mu_0 q^2 v^2}{12\pi a} \end{align}$

となる．

　古典理論でも「繰り込み」が必要になる有名な例．古典論での発散 $1/a$ に対し，量子論で計算すると $\ln 1/a$ になる．発散は理論の限界を示唆する．

　14.7節．(14.34)を時間でフーリエ変換すると

$\begin{align}(\omega_0^2-\omega^2-i\gamma\omega)x(\omega)=\frac{q}{m}E_x(\omega)\end{align}$

となるので $v_x(\omega)$ の式が得られる．

　(14.35)から $\omega'=\omega-\omega_0$ と変数変換すると，積分の下限は $-\omega_0$ になるが， $\omega'=0$ に鋭いピークをもつことから積分の下限を $-\infty$ にしたものが(14.36)である．

　単位体積あたりの電磁場のエネルギーの平均値 $u$ が与えられているが，電場のエネルギー密度は $(\epsilon_0/2)E^2$ である．この式では $\epsilon_0 E^2$ となっており，横波2成分の寄与によるものと思われる．

　 $P$ は本来 $\omega$ の関数ではないが，(14.36)の引数を $\omega$ にしたものであると理解する．

　(14.35)と比べて $\langle \dot{v}^2_x \rangle=\omega^2 P/m\gamma$ である，とあるが，正確には $\langle \dot{v}^2_x \rangle\cong\omega_0^2 P/m\gamma$ ではないだろうか？いつのまにか $\omega$ と $\omega_0$ を同一視していて，何だかよくわからなくなってきた．

　 $m\langle \dot{v}_x^2 \rangle = \omega^2 E$ の関係式は，振動子の1自由度あたりの平均エネルギーが $E=m\langle v_x^2\rangle$ であることによる．