電磁気学の基礎 II （その18） 14.5

「電磁気学の基礎 II」太田浩一著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

　 $[\mathbf{R}]$ を $t'$ で展開し，P432の $[R]$ の表式を使って $[R]$ を $R$ で表すとP435の最初の式を得る．同じことを $[\mathbf{v}]$ について行うと2番目の式になる．これから展開の主要項では $[R]$ は $\sqrt{[ \mathbf{R}^2]}$ から求まり， $[\mathbf{R}-(R/c)\mathbf{v}]$ が計算できる．また， $[\mathbf{R}]$ と $[\mathbf{v}]$ から $(1/c)[\mathbf{R}\cdot\mathbf{v}]$ が得られ，これにより $[s]$ ， $[1/s^3]$ が得られる．以上の結果を(14.21)に使う．

$\begin{align} \left[ \frac{R}{s^3}(\mathbf{n}-\pmb{\beta})(1-\beta^2)\right] &= \left[ \frac{1}{s^3}\left(\mathbf{R}-\frac{R}{c}\mathbf{v}\right)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)\right] \\ &= \frac{\mathbf{R}}{R^3}\left\{ 1-\frac{3}{2c^2}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}} +\frac{15}{8c^4}(\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}})^2+\frac{17R^2}{8c^4}\dot{v}^2\right\} \\ &\ +\frac{1}{2c^2R}\dot{\mathbf{v}}-\frac{5}{4c^4 R}\dot{\mathbf{v}}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}} -\frac{1}{3c^3}\ddot{\mathbf{v}}\cdots \end{align}$

$\begin{align} \left[\frac{R^2}{cs^3}\mathbf{n}\times((\mathbf{n}-\pmb{\beta})\times\dot{\pmb{\beta}})\right]&= \left[\frac{1}{c^2s^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}}\left(\mathbf{R}-\frac{R}{c}\mathbf{v}\right)- \frac{R}{c^2s^3}s\dot{\mathbf{v}}\right] \end{align}$

$\begin{align} \left[\frac{1}{c^2s^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}}\left(\mathbf{R}-\frac{R}{c}\mathbf{v}\right)\right] &= \frac{\mathbf{R}}{R^3}\left\{ \frac{1}{c^2}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}} -\frac{3}{2c^4}(\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}})^2-\frac{R^2}{2c^4}\dot{v}^2\right\} \\ &\ +\frac{1}{2c^4R}\dot{\mathbf{v}}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}}+\cdots \end{align}$

$\begin{align} \left[ -\frac{R}{c^2s^3}s\dot{\mathbf{v}}\right] &= -\frac{1}{c^2R}\dot{\mathbf{v}}+\frac{1}{c^3}\ddot{\mathbf{v}} +\frac{1}{c^4R}\dot{\mathbf{v}}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}} \end{align}$

これらによりP435の電場 $\mathbf{E}$ を得る．

　球殻の自己力について，第1, 2項は

$\begin{align} & -\frac{1}{8\pi\epsilon_0 c^2}\int dS \sigma(\mathbf{x})\int dS'\sigma(\mathbf{x}') \left( \frac{\mathbf{R}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{R^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{R}\right) \\ &\ = -\frac{1}{8\pi\epsilon_0 c^2}\int dV \varrho(\mathbf{x})\int dV'\varrho(\mathbf{x}') \left( \frac{\mathbf{R}\mathbf{R}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{R^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{R}\right) \\ &= -\frac{q}{8\pi\epsilon_0 c^2}\int dV \varrho(\mathbf{x}) \left( \frac{\mathbf{R}_1\mathbf{R}_1\cdot\dot{\mathbf{v}}}{R_1^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{R_1}\right)\\ &\qquad\qquad (\varrho(\mathbf{x}')=q\delta(\mathbf{x}'-\mathbf{r}_1),\ \mathbf{R}_1=\mathbf{x}-\mathbf{r}_1)\\ &= -\frac{q}{8\pi\epsilon_0 c^2}\int dV \varrho(\mathbf{x}) \left( \frac{\mathbf{x}\mathbf{x}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{r^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{x}\right) \end{align}$

となる． $\varrho(\mathbf{x})$ は球殻の電荷密度 $q/(4\pi a^2)$ である。 $\dot{\mathbf{v}}$ を $z$ 軸方向にとると

$\begin{align} \int d\Omega \left( \frac{\mathbf{x}\mathbf{x}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{r^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{x}\right) = \frac{2\pi \dot{v}_z}{r}\int_{-1}^1 d\cos\theta (\cos^2\theta+1) = \frac{16\pi \dot{v}_z}{3r} = \frac{16\pi\dot{\mathbf{v}}}{3r} \end{align}$

になるので

$\begin{align} -\frac{q}{8\pi\epsilon_0 c^2}\int dV \varrho(\mathbf{x}) \left( \frac{\mathbf{x}\mathbf{x}\cdot\dot{\mathbf{v}}}{r^3}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{x}\right) = -\frac{q}{8\pi\epsilon_0 c^2}\frac{q}{4\pi a^2}a^2\frac{16\pi\dot{\mathbf{v}}}{3a} = -\frac{\mu_0 q^2}{6\pi a}\dot{\mathbf{v}} \end{align}$

を得る．また第3項は

$\begin{align} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{2}{3c^3}\ddot{\mathbf{v}}\int dS \sigma(\mathbf{x})\int dS'\sigma(\mathbf{x}') =\frac{\mu_0 q^2}{6\pi c}\ddot{\mathbf{v}} \end{align}$

になるので，まとめるとP435の一番下の式になる．

　アブラハム-ローレンツ力は種々の困難がある．これは $1/c$ の展開に起因するものだろうか．

　パウリによるパラドクスは興味深いが，その解決法がかなり奇妙である．結果的にはラーモアの公式に一致するが，このような考え方で本当によいのだろうか．