電磁気学の基礎 II （その17） 14.4.3

　今回はP432の $1/c$ についての展開から．

　 $[R]$ についての展開

$\begin{align} [R] &= |\mathbf{x}-\mathbf{r}(t')| = \sqrt{\left\{\mathbf{x}-\mathbf{r}\left(t-\frac{[R]}{c}\right)\right\}^2} \\ &= R+\frac{[R]}{c}(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})-\frac{[R^2]}{2c^2}\left\{ \frac{(\mathbf{n}\cdot\mathbf{v})^2-v^2}{R}+\mathbf{n}\cdot\dot{\mathbf{v}}\right\}+\cdots \end{align}$

に対し，右辺の $[R]$ を逐次 $R$ で表していくとP432の $[R]$ の式を得る．これを使い

$\begin{align} [\mathbf{R}\cdot\mathbf{\beta}] = [(\mathbf{x}-\mathbf{r})\cdot\pmb{\beta}] &= R\mathbf{n}\cdot{\pmb{\beta}}+R\beta^2-\frac{R^2}{c}\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}+\cdots \end{align}$

$\begin{align} [s]=[R-\mathbf{R}\cdot\pmb{\beta}]=R\left\{ 1+\frac{1}{2}(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})^2 -\frac{1}{2}\beta^2+\frac{R}{2c}\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}} +\cdots \right\} \end{align}$

$\begin{align} \left[\frac{1}{s^3}\right] = \frac{1}{R^3}\left\{ 1-\frac{3}{2}(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})^2 +\frac{3}{2}\beta^2-\frac{3R}{2c}\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}} +\cdots \right\} \end{align}$

$\begin{align} [\mathbf{R}-R\pmb{\beta}] &= [\mathbf{x}-\mathbf{r}]-[R\pmb{\beta}] \\ &= \mathbf{R}+R\pmb{\beta}+R(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})\pmb{\beta}-\frac{R^2}{2c}\dot{\pmb{\beta}} -\{ R\pmb{\beta}+R(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})\pmb{\beta}-\frac{R^2}{c}\dot{\mathbf{\beta}} \} +\cdots \\ &= R\mathbf{n}+\frac{R^2}{2c}\dot{\pmb{\beta}}+\cdots \end{align}$

となるので，P432一番下の2式を得る．

　 $R$ が大きい場合で，点電荷の速度が光速に比べて小さい場合，展開の初項のみがきき，P433の上から2番目の式になる．

　ラーモアの公式は(14.15)で $\ddot{\mathbf{p}}$ を $q\dot{\mathbf{v}}$ に置き換えることで得られる．

　 $\beta$ が小さくないとき，(14.21)の第2項と(14.22)から，(14.24)下の $S$ を得る．これは $s=R(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})$ を使っている．(14.25)から

$\begin{align} \frac{dP}{d\Omega}=r^2(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})S \end{align}$

であり，

$\begin{align} [\mathbf{n}\times((\mathbf{n}-\pmb{\beta})\times\dot{\pmb{\beta}})]^2 &= [(\mathbf{n}-\pmb{\beta})\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}-(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})\dot{\pmb{\beta}} ]^2 \\ &= [(1-2\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}+\beta^2)(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}})^2 +(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})^2 \dot{\beta}^2 \\ &\ -2(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}})(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}-\pmb{\beta}\cdot \dot{\pmb{\beta}}) ] \\ &= [-(1-\beta^2)(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}})^2+(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})^2 \dot{\beta}^2 \\ &\ +2(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}})(\pmb{\beta}\cdot\dot{\pmb{\beta}})(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})] \end{align}$

によってP433の一番下の式になる． $\pmb{\beta}$ を $z$ 軸に、 $\dot{\pmb{\beta}}$ を $yz$ 平面上に選ぶと
$\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}=\dot{\beta}_y\sin\theta\sin\varphi+\dot{\beta}_z\cos\theta$ 、
$\pmb{\beta}\cdot\dot{\pmb{\beta}}=\beta\dot{\beta}_z$ となるから、 $\varphi$ 積分すると

$\begin{align} \int_0^{2\pi}d\varphi \mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\pmb{\beta}\cdot \dot{\pmb{\beta}} = 2\pi \beta\dot{\beta}_z^2 \cos\theta \end{align}$

$\begin{align} \int_0^{2\pi}d\varphi(\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}})^2 = \pi \dot{\beta}_y^2 \sin^2\theta + 2\pi\dot{\beta}_z^2\cos^2\theta \end{align}$

より

$\begin{align} P&= \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 c}\int_{-1}^1 d\cos\theta\left\{ \frac{\dot{\beta}_y^2+\dot{\beta}_z^2}{(1-\beta\cos\theta)^3}+\frac{2\beta\dot{\beta}_z^2\cos\theta} {(1-\beta\cos\theta)^4}\right. \\ &\ \left. -\frac{(1-\beta^2)((\dot{\beta}_y^2/2)\sin^2\theta+\dot{\beta}_z^2\cos^2\theta)} {(1-\beta\cos\theta)^5}\right\} \end{align}$

ここで

$\begin{align} \int_{-1}^1 d\cos\theta \frac{1}{(1-\beta\cos\theta)^3} = \frac{2}{(1-\beta^2)^2} \end{align}$

$\begin{align} \int_{-1}^1 d\cos\theta \frac{\cos\theta}{(1-\beta\cos\theta)^4} = \frac{8\beta}{3(1-\beta^2)^3} \end{align}$

$\begin{align} \int_{-1}^1 d\cos\theta \frac{\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^5} = \frac{4}{3(1-\beta^2)^3} \end{align}$

$\begin{align} \int_{-1}^1 d\cos\theta \frac{\cos^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^5} = \frac{2(1+5\beta^2)}{3(1-\beta^2)^4} \end{align}$

から

$\begin{align} P &= \frac{q^2}{8\pi\epsilon_0 c} \left\{ \frac{2(\dot{\beta}_y^2+\dot{\beta}_z^2)}{(1-\beta)^2} +\frac{16\beta^2\dot{\beta}_z^2}{3(1-\beta^2)^3} -\frac{2\dot{\beta}_y^2}{3(1-\beta^2)^2} - \frac{2(1+5\beta^2)\dot{\beta}_z^2}{3(1-\beta^2)^3}\right\}\\ &= \frac{q^2}{6\pi\epsilon_0 c} \frac{(1-\beta^2)\dot{\beta}_y^2+\dot{\beta}_z^2}{(1-\beta)^3} \\ &= \frac{q^2}{6\pi\epsilon_0 c} \frac{\dot{\beta}^2(1-\beta^2\sin^2\vartheta)}{(1-\beta)^3} \end{align}$

となる．最後の式で、 $\dot{\beta}_y=\dot{\beta}\sin\vartheta$ 、 $\dot{\beta}_z=\dot{\beta}\cos\vartheta$ とおいた。ベクトルで表せば(14.26)になる．