電磁気学の基礎 II （その16） 14.4.3

　今回はファインマンの教科書に書かれているという，(14.23)とその下の磁場を求める．まず微分演算子 $\pmb{\nabla}$ を

$\begin{align} \pmb{\nabla}=\pmb{\nabla} R(t') \frac{\partial}{\partial R(t')} = \mathbf{n}(t')\frac{\partial}{\partial R(t')} \end{align}$

と変形し，

$\begin{align}\pmb{\nabla} \phi = \frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int_{-\infty}^\infty dt' \mathbf{n}(t') \left\{ -\frac{1}{R^2(t')}\delta()+\frac{1}{R(t')}\frac{\partial}{\partial R(t')}\delta() \right\}\end{align}$

とする．表記を簡単にするため $\delta()=\delta(t-t'-R(t')/c)$ とした．

$\begin{align} \frac{\partial }{\partial t}\delta()=-c\frac{\partial}{\partial R(t')}\delta()\end{align}$

より

$\begin{align} \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t}= -\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int_{-\infty}^\infty dt' \frac{\pmb{\beta}(t')}{R(t')}\frac{\partial}{\partial R(t')}\delta() \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} \mathbf{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0} \int_{-\infty}^\infty dt' \left\{ \frac{\mathbf{n}(t')}{R^2(t')}\delta()-\frac{\mathbf{n}(t')-\pmb{\beta}(t')}{R(t')} \frac{\partial}{\partial R(t')}\delta() \right\} \end{align}$

になる．この第1項は簡単に積分できる．第2項は $y=f(t')=t'+R(t')/c$ と変数変換すると

$\begin{align} \frac{\partial }{\partial R(t')}\delta()=\frac{1}{c}\frac{\partial }{\partial y}\delta(t-y)\end{align}$

となり， $t'$ を $y$ で表した式を $t'=h(y)$ とすれば、

$\begin{align} & -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c} \int_{-\infty}^\infty dy \frac{dh(y)}{dy} \frac{\mathbf{n}(h(y))-\pmb{\beta}(h(y))}{R(h(y))} \frac{\partial}{\partial y}\delta(t-y) \\ &\ =\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c} \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial h(t)}{\partial t}\frac{\mathbf{n}(h(t))-\pmb{\beta}(h(t))}{R(h(t))} \right) \tag{a} \label{a} \end{align}$

になる． $h(t)$ は $t=t'+R(t')/c$ を $t'$ について解いた式であるから、 $g(t')=0$ の解である。このときの $t'$ を $t_0'$ とおけば、 $t_0'=h(t)$ 、 $t=f(t_0')$ を満たすから

$\begin{align} \frac{dh(t)}{dt}=\left(\frac{df(t_0')}{dt_0'}\right)^{-1} \end{align}$

であり， $g(t')=t-t'-R(t')/c$ と $f(t')$ とは

$\begin{align} \frac{df(t_0')}{dt_0'}=-\frac{dg(t_0')}{dt_0'}=-\frac{R(t_0')}{s(t_0')} \end{align}$

の関係があるから、\eqref{a}は

$\begin{align} \frac{q}{4\pi\epsilon_0 c} \frac{\partial}{\partial t} \left[ \frac{\mathbf{n}-\pmb{\beta}}{s} \right] \end{align}$

になる．これよりP431の一番下の式を得る．前回計算した $dt'/dt$ の表式からP432の $[1/s]$ の式を得ることができ，これと $[\mathbf{v}]$ の式から

$\begin{align} \left[ \frac{\mathbf{n}}{sR} \right] = \left[ \frac{\mathbf{n}}{R^2}\right]-\left[ \frac{\mathbf{n}}{cR^2}\frac{\partial R}{\partial t}\right] \end{align}$

$\begin{align} \left[ \frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\mathbf{n}}{s} \right] &= \left[ \frac{1}{cR}\frac{\mathbf{n}}{\partial t} - \frac{1}{c^2R}\frac{\partial R}{\partial t} \frac{\partial \mathbf{n}}{\partial t} \right] \\ &\ -\left[ \frac{\mathbf{n}}{cR^2}\frac{\partial R}{\partial t}-\frac{\mathbf{n}}{c^2R^2}\left(\frac{\partial R}{\partial t}\right)^2 +\frac{\mathbf{n}}{c^2R}\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}\right] \end{align}$

$\begin{align} \left[ -\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}\frac{\mathbf{\beta}}{s}\right] &= \left[ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf{n}}{\partial t^2} +\frac{1}{c^2R}\frac{\partial R}{\partial t}\frac{\partial\mathbf{n}}{\partial t} -\frac{\mathbf{n}}{c^2R^2}\left(\frac{\partial R}{\partial t}\right)^2 +\frac{\mathbf{n}}{c^2R}\frac{\partial^2 R}{\partial t^2}\right] \end{align}$

を得る．これらを合わせると(14.23)になる．磁場は $[\mathbf{n}]\times\mathbf{E}/c$ から得られる．

　本には途中の式がほとんどない．もしかしたらもっとずっと簡単に計算できるのかもしれない．