電磁気学の基礎 II （その15） 14.4.3

　電磁気学の基礎 I から初めて約2カ月が経ったが，初めのほうを読み直してみると訂正や補足したいところがある．一通り読んだら取りかかりたいが，I でも45回かかったので II はもっとかかりそうである。今年中に終わるのだろうか．

　14.4.3節は計算が半端ない．今回は(14.22)まで．

$\begin{align} \frac{dg}{dt'} &= -1-\frac{1}{c}\frac{dR(t')}{dt'}\\ &= -1+\frac{1}{c}\frac{\mathbf{R}(t')}{R(t')}\cdot\frac{d\mathbf{r}(t')}{dt'}\\ &= -\frac{1}{R(t')}\left(R(t')-\frac{\mathbf{R}(t')\cdot\mathbf{v}(t')}{c}\right) \equiv -\frac{s(t')}{R(t')} \end{align}$

によって(14.20)を得る．これからP430一番下の式を使って電場を求めるのだが， $t'$ が $\mathbf{x}, t$ の関数なので微分するときに注意がいる．P431の最初の2式が微分の結果である．これらの式から

$\begin{align} \pmb{\nabla}[R] = [\mathbf{n}]-[c \mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}] \pmb{\nabla} t'\end{align}$

$\begin{align} \pmb{\nabla}[\mathbf{R}\cdot\pmb{\beta}]&=[\pmb{\beta}]+[-c\beta^2+\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}]\pmb{\nabla} t' \end{align}$

$\begin{align} \pmb{\nabla}[s]=\pmb{\nabla}[R-\mathbf{R}\cdot\pmb{\beta}] =[\mathbf{n}-\pmb{\beta}]-[c\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}-c\beta^2+\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}] \pmb{\nabla} t' \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial }{\partial t}[\mathbf{R}\cdot\pmb{\beta}] &= \frac{\partial }{\partial t'}(\mathbf{R}(t')\cdot\pmb{\beta}(t') \frac{\partial t'}{\partial t} =(-c\beta^2(t')+\mathbf{R}(t')\cdot\dot{\pmb{\beta}}(t'))\frac{\partial t'}{\partial t} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial[s]}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}[R-\mathbf{R}\cdot\pmb{\beta}] =-[c\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}-c\beta^2+\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}]\frac{\partial t'}{\partial t} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial[\mathbf{v}]}{\partial t}=[\dot{\mathbf{v}}]\frac{\partial t'}{\partial t} \end{align}$

が得られる．さらに $[s]=[R(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})]$ から

$\begin{align} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{s^2}\right]\pmb{\nabla}[s]&=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{1}{s^2}\left\{ \mathbf{n}-\pmb{\beta}+\frac{\mathbf{R}}{cs}(c\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}-c\beta^2 +\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}})\right\}\right] \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{1}{s^3}\left\{ s(\mathbf{n}-\pmb{\beta})+R\mathbf{n}(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta} -\beta^2)\right\}+\frac{R\mathbf{n}}{cs^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R}{s^3}\left\{ \mathbf{n}(1-\beta^2)-\pmb{\beta}(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}) \right\}+\frac{R\mathbf{n}}{cs^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] \end{align}$

$\begin{align} -\frac{\mu_0}{4\pi}\left[\frac{1}{s}\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t}\right] &= -\frac{\mu_0}{4\pi}\left[ \frac{cR}{s^2}\dot{\pmb{\beta}}\right]= -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R}{cs^2} \dot{\pmb{\beta}}\right] \end{align}$

$\begin{align} \frac{\mu_0}{4\pi}\left[ \frac{\mathbf{v}}{s}\frac{\partial s}{\partial t} \right] &=-\frac{\mu_0}{4\pi}\left[ \frac{c\pmb{\beta}}{s^2}\frac{R}{s}(c\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}-c\beta^2+\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}})\right] \\ &= -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R\pmb{\beta}}{s^3}(\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta}-\beta^2) +\frac{R\pmb{\beta}}{cs^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] \end{align}$

になる．これら3つの式で $\dot{\pmb{\beta}}$ を含む項を合わせると

$\begin{align} \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[\frac{R\mathbf{n}}{cs^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}- \frac{R}{cs^2} \dot{\pmb{\beta}} -\frac{R\pmb{\beta}}{cs^3}\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R^2}{cs^3}\left\{\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}(\mathbf{n}-\pmb{\beta}) -\frac{s}{R}\dot{\pmb{\beta}}\right\}\right] \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R^2}{cs^3}\left\{\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}(\mathbf{n}-\pmb{\beta}) -\dot{\pmb{\beta}}(1-\mathbf{n}\cdot\pmb{\beta})\right\}\right] \\ &= \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\left[ \frac{R^2}{cs^3}\mathbf{n}\times((\mathbf{n}-\pmb{\beta})\times \dot{\pmb{\beta}})\right] \end{align}$

となり，(14.21)を得る．磁場は

$\begin{align} \mathbf{B}=\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}&=\frac{\mu_0 q}{4\pi}\left\{ \pmb{\nabla}\left[\frac{1}{s}\right]\times[\mathbf{v}]+\left[\frac{1}{s}\right]\pmb{\nabla}\times[\mathbf{v}]\right\} \\ &= \frac{\mu_0 q}{4\pi}\left\{ -\left[\frac{1}{s^2}\right]\pmb{\nabla}[s]\times[\mathbf{v}]+\left[\frac{1}{s}\right] \pmb{\nabla} t'\times[\dot{\mathbf{v}}]\right\} \end{align}$

であり，第1, 2項がそれぞれ

$\begin{align} & -\frac{\mu_0 q}{4\pi}\left[ \frac{cR}{s^3}(\mathbf{n}\times\pmb{\beta})(1-\beta^2)+\frac{R}{s^3} (\mathbf{n}\times\pmb{\beta})\mathbf{R}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] \\ &\ = -\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c} \left[ \frac{R}{s^3}(\mathbf{n}\times\pmb{\beta})(1-\beta^2)+\frac{R^2}{cs^3} (\mathbf{n}\times\pmb{\beta})\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}\right] \end{align}$

$\begin{align} -\frac{\mu_0 q}{4\pi}\left[ \frac{1}{s}\frac{\mathbf{R}}{cs}\times c\dot{\pmb{\beta}}\right] =-\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c} \left[\frac{R}{cs^2}(\mathbf{n}\times\dot{\pmb{\beta}})\right] \end{align}$

となるから、

$\begin{align} \mathbf{B}=-\frac{q}{4\pi\epsilon_0 c}\left[ \frac{R}{s^3}(\mathbf{n}\times\pmb{\beta})(1-\beta^2)+\frac{R^2}{cs^3} (\mathbf{n}\times\pmb{\beta})\mathbf{n}\cdot\dot{\pmb{\beta}}+ \frac{R}{cs^2}(\mathbf{n}\times\dot{\pmb{\beta}}) \right] \end{align}$

になるので，これと電場を比べると(14.22)になる．