電磁気学の基礎 II （その21） 15.1, 15.2

　15.1節．P450上から3番目の式において

$\begin{align} \pmb{\beta}\times\mathbf{R} = \frac{1}{c}[\mathbf{v}\times(\mathbf{x}-\mathbf{v}t)] = \frac{1}{c}\mathbf{v}\times\mathbf{x} =\frac{v}{c}(\mathbf{e}_z\times\mathbf{x})=\beta(-x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y) \end{align}$

を使った．

　電場の計算には

$\begin{align} \frac{\partial R^2}{\partial t}=-2\mathbf{v}\cdot\mathbf{R}=-2v(z-vt) \end{align}$

$\begin{align} \dot{\mathbf{A}}= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{\pmb{\beta}\pmb{\beta}\cdot\mathbf{R}} {\{R^2-(\pmb{\beta}\times\mathbf{R})^2\}^{3/2}} \tag{a}\label{a} \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial x}\{ R^2-\beta^2(x^2+y^2)\} = 2x (1-\beta^2) \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial y}\{ R^2-\beta^2(x^2+y^2)\} = 2y (1-\beta^2) \end{align}$

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial z}\{ R^2-\beta^2(x^2+y^2)\} = 2 (z-vt) \end{align}$

を使い，

$\begin{align} \mathbf{E} &= -\pmb{\nabla}\phi-\dot{\mathbf{A}} \\ &= \frac{q}{4\pi\epsilon_0}\frac{1}{\{R^2-(\pmb{\beta}\times\mathbf{R})^2\}^{3/2}} \{(x\mathbf{e}_x+y\mathbf{e}_y)(1-\beta^2)+(z-vt)(1-\beta^2)\mathbf{e}_z\} \end{align}$

によって(15.3)を得る．磁場は

$\begin{align} \mathbf{B} = \pmb{\nabla}\times\mathbf{A} &= -\frac{1}{c^2}\mathbf{v}\times\pmb{\nabla}\phi \end{align}$

により(15.3)になる．

　(15.7)を得るには，(15.5)の電場を使う．

$\begin{align} E^2-c^2B^2 &= \left\{ \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^3}\frac{1-\beta^2}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}} \right\}^2 \left\{ \mathbf{R}^2-(\pmb{\beta}\times\mathbf{R})^2 \right\} \\ &= \left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\frac{1-\beta^2}{1-\beta^2\sin^2\theta}\right)^2 \\ &= \left( \frac{q}{4\pi\epsilon_0 r'^2} \right)^2 \end{align}$

　電荷 $q$ と同じ速度で運動する電荷 $q'$ にはたらく力はローレンツ力

$\begin{align} \mathbf{F}=q'(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}) \end{align}$

となるが、\eqref{a}と(15.3)より

$\begin{align} \mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B} &=\mathbf{E}+\pmb{\beta}\times(\pmb{\beta}\times\mathbf{E}) \\ &= (1-\beta^2)\mathbf{E}+\pmb{\beta}\pmb{\beta}\cdot\mathbf{E} \\ &=-(1-\beta^2)\pmb{\nabla}\phi -(1-\beta^2)\dot{\mathbf{A}}+\pmb{\beta}\pmb{\beta}\cdot\mathbf{E} \end{align}$

$\begin{align} (1-\beta^2)\dot{\mathbf{A}}=\pmb{\beta}\pmb{\beta}\cdot\mathbf{E} \end{align}$

なので、

$\begin{align} \mathbf{F}=q'(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})=-q'\pmb{\nabla}(1-\beta^2)\phi \end{align}$

になる。

　15.2節．この節の最初には書いていないが，11.9節で行ったようにガリレイ変換において $u^2$ 項は無視する．11.9節でも感じたことだが，近似的にしか成り立たないガリレイ変換を考えることにどういう意味があるのだろうか？

　(15.18)は $c'^2 = ( c\mathbf{n}-\mathbf{u} )^2= c^2 - u^2 -2 c' \mathbf{n}'\cdot\mathbf{u}$ を $c'$ について解く．