電磁気学の基礎 II （その14） 14.4.2

　14.4.2節後半．電気4極子の放射．ベクトルポテンシャルは(14.16)の $\mathbf{J}$ が $\dot{\mathsf{q}}$ になる．電気双極子放射の場合のようにヘルツベクトルを

$\begin{align} \mathbf{\Pi}_{\rm e}=c^2 \frac{\mu_0}{4\pi} \left( \frac{[\mathsf{q}]\cdot\mathbf{x}}{r^3}+\frac{[\dot{\mathsf{q}}]\cdot\mathbf{x}}{cr^2}\right) \end{align}$

とおくと

$\begin{align} \mathbf{A}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial \mathbf{\Pi_{\rm e}}}{\partial t} \end{align}$

$\begin{align} \phi=-\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{\Pi}_{\rm e} = -\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\pmb{\nabla}\cdot\left( \frac{[\mathsf{q}]\cdot\mathbf{x}}{r^3} +\frac{[\dot{\mathsf{q}}]\cdot\mathbf{x}}{cr^2}\right) \end{align}$

となる．

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times[\ddot{\mathsf{q}}]=-\frac{1}{c}\pmb{\nabla} r\times[\dddot{\mathsf{q}}] = -\frac{1}{cr}\mathbf{x}\times[\dddot{\mathsf{q}}] \end{align}$

によって磁場 $\mathbf{B}_{\rm rad}$ を得，電場は $\mathbf{E}_{\rm rad}=-c\mathbf{n}\times\mathbf{B}_{\rm rad}$ によって得られる．

ポインティングベクトルは

$\begin{align} \mathbf{S}_{\rm rad} = \frac{c}{\mu_0}B_{\rm rad}^2 \mathbf{n} \end{align}$

となる．ベクトル $\mathbf{Q}=([\dddot{\mathsf{q}}]\cdot\mathbf{x})$ を定義すると

$\begin{align} B_{\rm rad}^2 = \frac{\mu_0^2}{16\pi^2 c^4 r^6}(\mathbf{Q}\times\mathbf{x})^2 = \frac{\mu_0^2}{16\pi^2 c^4 r^6} [Q^2 r^2-(\mathbf{Q}\cdot\mathbf{x})^2] \end{align}$

であるから，成分表示で

$\begin{align}　S_{\rm rad}= \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 r^2}( q_{ij} q_{ik} n_j n_k - q_{ij} q_{kl} n_i n_j n_k n_l)\end{align}$

となる． $q_{ij}=[\dddot{\mathsf{q}}]_{ij}$ とした．これを角度積分するが，必要な角度積分は

$\begin{align} \int d \Omega n_{i} n_{j} n_{k} n_{l}=\frac{4 \pi}{15}\left(\delta_{i j} \delta_{k l}+\delta_{i k} \delta_{j l}+\delta_{i l} \delta_{j k}\right)\end{align}$

である． $ijkl$ の対称性からこの形が決まり，係数は例えば $i$ と $j$ を縮約し， $k$ と $l$ を縮約すると $\delta_{ii}\delta_{kk}+\delta_{ik}\delta_{ik}+\delta_{ik}\delta_{ik}=9+3+3=15$
になることによる．これから

$\begin{align} P &= \int d\Omega r^2 S_{\rm rad} = \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 } \int d\Omega ( q_{ij} q_{ik} n_j n_k - q_{ij} q_{kl} n_i n_j n_k n_l) \\ &= \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 }\left[ \frac{4\pi}{3}q_{ij}q_{ik}\delta_{jk} -\frac{4\pi}{15} q_{ij}q_{kl}\left(\delta_{i j} \delta_{k l}+\delta_{i k} \delta_{j l}+\delta_{i l} \delta_{j k}\right)\right] \\ &= \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 }\left[ \frac{4\pi}{3}q_{ij}q_{ij} -\frac{4\pi}{15} \left( q_{ii}q_{kk}+q_{ij}q_{ij}+q_{ij}q_{ji} \right)\right] \\ &= \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 }\left[ \frac{4\pi}{3}q_{ij}q_{ij} -\frac{4\pi}{15} \cdot 2q_{ij}q_{ij}\right] \\ &= \frac{\mu_0}{16\pi^2 c^3 } \frac{4\pi}{5} q_{ij} q_{ij} \\ &= \frac{\mu_0}{20\pi c^3} [\dddot{\mathsf{q}}]^2 \end{align}$

となる．ここで $q_{ii}=0, q_{ij}=q_{ji}$ を使った．本の表式と係数が合わないが，今のところ誤りを見つけられない．グリフィスではこの計算は見当たらない．