電磁気学の基礎 II （その7） 13.1, 13.2, 13.3, 13.4

　13.1節．電磁波が横波であることは電場と磁場の発散が0になることによる．電場と磁場が直交することはアンペールマクスウェルの法則による．磁場の大きさは電場の $1/c$ 倍である．

　13.2節．電磁波を正弦波で表した場合，エネルギー密度やポインティングベクトルの時間依存部分は無視してよい（波束で表すと相殺する）．電磁場を複素数で表した場合，エネルギー密度やポインティングベクトルなど，電磁場の2次以上の量を求めるときは注意が必要．

$\begin{align} {\rm Re}(R+iI)^2=R^2-I^2\neq \{{\rm Re}(R+iI)\}^2=R^2 \end{align}$

なので，計算の最後に実部を取る，という方法ではうまくいかない．このことをしっかりと書いている本は意外に少ない．

　(3.18)の下の式は

$\begin{align} u &= \frac{1}{4}\epsilon_0 \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* + \frac{1}{4\mu_0 c}(\mathbf{n}\times\mathbf{E}_0) \cdot(\mathbf{n}\times\mathbf{E}_0^*) \\ &= \frac{1}{4}\epsilon_0 \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* +\frac{1}{4\mu_0 c} \{ \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* \mathbf{n}\cdot\mathbf{n}+ \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{n} \mathbf{E}_0^*\cdot\mathbf{n} \} \\ &= \frac{1}{4}\epsilon_0 \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* +\frac{1}{4\mu_0 c} \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^* \\ &= \frac{1}{2}\epsilon_0 (E_1^2+E_2^2) \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{S} &= \frac{1}{4\mu_0 c}\{ \mathbf{E}\times(\mathbf{n}\times\mathbf{E}^*_0)+ \mathbf{E}^*_0\times(\mathbf{n}\times\mathbf{E})\} \\ &= \frac{1}{2\mu_0 c}\mathbf{E}_0\cdot\mathbf{E}_0^*\mathbf{n} \\ &= cu\mathbf{n} \end{align}$

により得られる．

　13.3節．電磁場が時間変化する場合，ある面での電磁場の境界条件は静電磁場と同じ．ガウスの法則と磁場の発散が0である式から，P384の下から2番目の2式を得る．また，面をまたぐ，底面積 $\Delta S$ , 高さ $\Delta n$ の円柱を考えると，円柱の面についての積分により

$\begin{align} \lim_{\Delta n\to0}\frac{1}{\Delta S}\oint dS\mathbf{n}\times\mathbf{E} = \mathbf{n}\times\mathbf{E}_1-\mathbf{n}\times\mathbf{E}_2=-\lim_{\Delta n\to 0}\Delta n\dot{\mathbf{B}}=0 \end{align}$

$\begin{align} \mathbf{n}\times\mathbf{B}_1-\mathbf{n}\times\mathbf{B}_2 = \lim_{\Delta n\to 0}\Delta n \pmb{\nabla}\times\mathbf{B} = \lim_{\Delta n\to 0}\Delta n\left(\mu_0 \mathbf{J}+\frac{1}{c^2} \dot{\mathbf{E}} \right) = \mu_0 \mathbf{K} \end{align}$

になる．

　13.4節．導体に電磁波が入射すると圧力を与える．