電磁場の境界条件 - 河漢の戯言

　電磁場の境界条件は3.3節や7.6節でやった． $\mathbf{n}$ を面の法線， $\sigma$ を電荷面密度， $\mathbf{K}$ を電流面密度とすると

$\begin{align} &\ \mathbf{n}\cdot\mathbf{E}_1 - \mathbf{n}\cdot\mathbf{E}_2 = \frac{\sigma}{\epsilon_0},\qquad \mathbf{n}\cdot\mathbf{B}_1-\mathbf{n}\cdot\mathbf{E}_2=0 \\ &\ \mathbf{n}\times\mathbf{E}_1 - \mathbf{n}\times\mathbf{E}_2 =0, \qquad \mathbf{n}\times\mathbf{B}_1 - \mathbf{n}\times\mathbf{B}_2 =\mu_0 \mathbf{K} \end{align}$

である．13.3節でみたように，電磁場が時間変化するときでもこの条件は変わらない．これらは境界面を横切る閉曲面を考え，電磁場の面積分から得られた．

　これは別の導出法がある． $z=0$ を境界面とすると，電磁場と電荷密度は，領域1, 2にある電磁場と電荷密度によって

$\begin{align} \mathbf{E}&= \mathbf{E}_1 \theta(z) + \mathbf{E}_2 \theta(-z) \\\\ \mathbf{B}&= \mathbf{B}_1 \theta(z) + \mathbf{B}_2 \theta(-z) \\\\ \varrho &= \varrho_1 \theta(z)+\varrho_2\theta(-z) +\sigma \delta(z) \end{align}$

と表すことができる．このとき $\pmb{\nabla}\theta(z)=\mathbf{e}_z \delta(z)$ に注意して

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E} &= ( \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}_1) \theta(z) + ( \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}_2) \theta(-z) +\mathbf{e}_z\cdot (\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\delta(z) \end{align}$

から，ガウスの法則によって

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}_{1,2}&= \frac{1}{\epsilon_0}\varrho_{1,2},\qquad \mathbf{e}_z\cdot (\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2) = \frac{1}{\epsilon_0}\sigma \end{align}$

を得る．同様にファラデーの法則

$\begin{align} &\ \pmb{\nabla}\times\mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t} \\ &= \left( \pmb{\nabla}\times\mathbf{E}_1 + \frac{\partial\mathbf{B}_1}{\partial t} \right)\theta(z) + \left( \pmb{\nabla}\times\mathbf{E}_2 + \frac{\partial\mathbf{B}_2}{\partial t} \right)\theta(-z) \\ &\ + \mathbf{e}_z\times (\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2)\delta(z)=0 \end{align}$

から

$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{E}_{1,2} + \frac{\partial\mathbf{B}_{1,2}}{\partial t}=0,\qquad \mathbf{e}_z\times (\mathbf{E}_1-\mathbf{E}_2) = 0 \end{align}$

を得る．磁場の境界条件も同様である．この導出の利点は電磁場の時間変化の有無に関係なく，ほとんど機械的にできることである．出典は

A. Zangwill, "Modern Electrodynamcs", (Cambridge University Press 2012)

で，Google Books から参照できる．