電磁気学の基礎 II （その23） 15.6, 15.7

　15.6節．平行板コンデンサーがつくる電磁場を考えることで電磁場のローレンツ変換を構築できる．電荷密度や電流密度のローレンツ変換をベースにしていることがわかる．

　電磁ポテンシャルのローレンツ変換を導くには，磁場の変換則を使う．

$\begin{align} \mathbf{B}=(\pmb{\nabla}_\perp+\pmb{\nabla}_\parallel)\times (\mathbf{A}_\perp+\mathbf{A}_\parallel)=\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{A}_\perp+\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{A}_\parallel +\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{A}_\perp \end{align}$

から

$\begin{align} \mathbf{B}' &= \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{A}_\perp +\gamma\left\{ \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{A}_\parallel +\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{A}_\perp + \frac{\mathbf{u}}{c^2}\times(\pmb{\nabla}_\perp \phi+\dot{\mathbf{A}}_\perp)\right\} \end{align}$

によってP467の2番目の式になり，3番目の式と比較すると(15.34)が得られる．電場については

$\begin{align} \mathbf{E}' &= -\pmb{\nabla}_\parallel\phi - \dot{\mathbf{A}}_\parallel + \gamma\left\{ -\pmb{\nabla}_\perp\phi - \dot{\mathbf{A}}_\perp+\mathbf{u}\times(\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{A}_\parallel) +\mathbf{u}\times(\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{A}_\perp)\right\} \end{align}$

によって(15.34)の下の式になり，この式と

$\begin{align} \mathbf{E}' &= -\pmb{\nabla}'\phi'-\frac{\partial \mathbf{A}'}{\partial t'} \\ &= -\pmb{\nabla}_\perp \phi' -\gamma\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\right) \mathbf{A}' -\gamma\left(\pmb{\nabla}_\parallel+\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\right)\phi' \end{align}$

の右辺第1項を比べると， $\phi$ の変換則がわかる．

　15.7節．マクスウェル方程式の共変性を確かめる．

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\cdot\mathbf{E}' &= \left\{ \pmb{\nabla}_\perp+\gamma\left( \pmb{\nabla}_\parallel+\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\right) \right\} \cdot \left\{ \mathbf{E}_\parallel + \gamma(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp) \right\}\\ &= \gamma \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E} + \gamma \pmb{\nabla}_\perp\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp) +\gamma\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial \mathbf{E}_\parallel}{\partial t} \\ &= \gamma \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E} -\gamma\mathbf{u}\cdot\left(\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\perp -\frac{1}{c^2} \frac{\partial \mathbf{E}_\parallel}{\partial t}\right) \\ &= \gamma\left( \frac{1}{\epsilon}\varrho-\mu_0\mathbf{u}\cdot\mathbf{J}_\parallel\right)\\ &= \frac{1}{\epsilon_0}\varrho' \end{align}$

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\cdot\mathbf{B}' &= \left\{ \pmb{\nabla}_\perp+\gamma\left( \pmb{\nabla}_\parallel+\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\right) \right\} \cdot \left\{ \mathbf{B}_\parallel + \gamma\left( \mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right)\right\} \\ &= \gamma\pmb{\nabla}_\perp\cdot\mathbf{B}_\perp-\frac{\gamma}{c^2}\pmb{\nabla}_\perp\cdot(\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp) +\gamma\pmb{\nabla}_\parallel\cdot\mathbf{B}_\parallel+\gamma\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial \mathbf{B}_\parallel}{\partial t} \\ &= \gamma\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}+\frac{\gamma}{c^2}\mathbf{u}\cdot\left(\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\perp +\frac{\partial \mathbf{B}_\parallel}{\partial t}\right) \\ &= 0 \end{align}$

ファラデイの法則はやや面倒くさい．

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\times\mathbf{E}' &= \left\{ \pmb{\nabla}_\perp+\gamma\left( \pmb{\nabla}_\parallel+\frac{\mathbf{u}}{c^2}\frac{\partial}{\partial t}\right) \right\} \times \left\{ \mathbf{E}_\parallel + \gamma(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp) \right\}\\ &= \pmb{\nabla}_\perp\times \mathbf{E}_\parallel + \gamma\left( \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\perp +\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\perp\right) \\ &\ +\gamma^2\left( \pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp -\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\perp+\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t} -\frac{u^2}{c^2}\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right) \tag{a} \label{a} \end{align}$

右辺第2項は、ファラデーの法則と $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{B}=0$ から

$\begin{align} \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\perp +\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\perp =-\frac{\partial\mathbf{B}_\parallel}{\partial t}-\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\parallel \end{align}$

であり，また

$\begin{align} & \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\parallel+\gamma^2\left(\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp -\frac{u^2}{c^2}\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right)\\ &\ =\gamma^2\left\{ \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\parallel +\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp-\frac{u^2}{c^2}\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ = \gamma^2\left\{ \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right) (\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{E}_\parallel +\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp)+\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp -\frac{u^2}{c^2}\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ = \gamma^2\left\{ -\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right) \frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp -\frac{u^2}{c^2}\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ = \gamma^2\left( -\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp\right) \end{align}$

となるので，

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\times\mathbf{E}' &= -\gamma\frac{\partial\mathbf{B}_\parallel}{\partial t} -\gamma\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\parallel \\ &\ +\gamma^2\left( -\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp-\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\perp +\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right) \end{align}$

になる．一方，

$\begin{align} \frac{\partial\mathbf{B}'}{\partial t'} &= \gamma\left(\frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_{\parallel}\right) \left\{ \mathbf{B}_\parallel + \gamma\left( \mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right)\right\} \\ &= \gamma\frac{\partial\mathbf{B}_\parallel}{\partial t}+ \gamma\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\parallel \\ &\ +\gamma^2\left( \frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}-\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t} +\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{B}_\perp -\frac{\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel}{c^2}\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp \right) \tag{b}\label{b} \end{align}$

であり，この最後の項は

$\begin{align} -\frac{\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel}{c^2}\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp =-\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{E}_\perp \end{align}$

になるから、ファラデイの法則も共変性をもつことが確かめられる．最後にアンペール・マクスウェルの法則をみる． $\pmb{\nabla}'\times\mathbf{B}'$ は $\eqref{a}$ において $\mathbf{E}\to\mathbf{B}$ 、 $\mathbf{B}\to-\mathbf{E}/c^2$ にしたものであるから、

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\times\mathbf{B}' &= \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+\gamma(\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\perp -\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\perp\cdot\mathbf{E}_\perp)\\ &\ +\gamma^2\left( \pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp + \frac{1}{c^2}\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel \mathbf{E}_\perp + \frac{1}{c^2}\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\frac{u^2}{c^4}\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right) \tag{c}\label{c} \end{align}$

である．右辺第2項は

$\begin{align} \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\perp -\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\perp\cdot\mathbf{E}_\perp =\mu_0(\mathbf{J}_\parallel-\mathbf{u}\varrho)+\frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}_\parallel}{\partial t} +\frac{1}{c^2}\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel \end{align}$

となり，さらに右辺の中で

$\begin{align} & \pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+\gamma^2\left(\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{u^2}{c^4}\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right) \\ &\ =\gamma^2\left\{ \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+ \pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{u^2}{c^4}\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ =\gamma^2\left\{ \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)(\pmb{\nabla}_\perp\times\mathbf{B}_\parallel+ \pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp)+\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{u^2}{c^4}\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ =\gamma^2\left\{ \left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)\left(\mu_0\mathbf{J}_\perp+\frac{1}{c^2} \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right)+\frac{u^2}{c^2}\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp +\frac{u^2}{c^4}\frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}\right\} \\ &\ =\mu_0\mathbf{J}_\perp +\frac{\gamma^2}{c^2}\left( \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t} +u^2\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp\right) \end{align} となるから、[tex: \eqref{c}$ は

$\begin{align} \pmb{\nabla}'\times\mathbf{B}' &= \mu_0\mathbf{J}_\perp + \gamma\mu_0(\mathbf{J}_\parallel-\mathbf{u}\varrho) +\frac{\gamma}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}_\parallel}{\partial t} +\frac{\gamma}{c^2}\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel \\ &\ +\frac{\gamma^2}{c^2}\left( \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t} +u^2\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp + \mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel \mathbf{E}_\perp + \mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right) \\ &= \mu_0\mathbf{J}' +\frac{\gamma}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}_\parallel}{\partial t} +\frac{\gamma}{c^2}\mathbf{u}\pmb{\nabla}_\parallel\cdot\mathbf{E}_\parallel \\ &\ +\frac{\gamma^2}{c^2}\left( \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t} +u^2\pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp + \mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel \mathbf{E}_\perp + \mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t}\right) \end{align}$

となる．一方、 $\partial\mathbf{E}'/\partial t'$ は $\eqref{b}$ において $\mathbf{B}\to\mathbf{E}$ 、 $\mathbf{E}\to-c^2\mathbf{E}$ としたものだから、

$\begin{align} \frac{\partial\mathbf{E}'}{\partial t'} &= \gamma\frac{\partial\mathbf{E}_\parallel}{\partial t}+ \gamma\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{E}_\parallel \\ &\ +\gamma^2\left( \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}+\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{E}_\perp +\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp \right) \\ &= \gamma\frac{\partial\mathbf{E}_\parallel}{\partial t}+ \gamma\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{E}_\parallel \\ &\ +\gamma^2\left( \frac{\partial\mathbf{E}_\perp}{\partial t}+\mathbf{u}\times\frac{\partial\mathbf{B}_\perp}{\partial t} +\mathbf{u}\cdot\pmb{\nabla}_\parallel\mathbf{E}_\perp +u^2 \pmb{\nabla}_\parallel\times\mathbf{B}_\perp \right) \end{align}$

となる．以上からアンペール・マクスウェルの法則の共変性が確かめられる．