電磁気学の基礎 II （その8） 13.5, 13.6

　13.5節．P390の $P=\sigma T^4$ を導くくだりが簡潔すぎてわかりづらい．ここも図があればと思う．

　13.6節．熱輻射で満たされた容器の一方に取り付けたピストンを断熱的に速度 $v$ で動かした場合を考える．時間 $\Delta t$ の間に，ピストンの壁の面積 $dS$ に入射角度 $\theta$ で当たる，波長が $\lambda\sim\lambda +d\lambda$ の電磁場のエネルギーを考える． $\Delta t$ の間に $dS$ に当たる電磁波は $dS$ を中心とする半径 $r=c\Delta t$ の半球内にある電磁波である．この半球内の体積要素 $dV$ の中の，波長が $\lambda\sim\lambda+d\lambda$ の電磁波の全エネルギーは $u(\lambda, T)d\lambda dV$ である．この体積要素から電磁波は全方向に広がるが，そのうち $dS$ を目指すものは $dS$ を電磁波の進行方向に射影した $dS \cos\theta$ である．よって， $dV$ から出る電磁波のうち $dS$ に当たるものの割合は $dS\cos\theta/4\pi r^2$ となる．以上から，半球内の体積要素 $dV$ から出る電磁波のうち $dS$ に当たるものは

$\begin{align} \Delta P=cu(\lambda, T)d\lambda dV \frac{dS\cos\theta}{4\pi r^2} dt = \frac{cu(\lambda, T)}{4\pi}d\lambda\; dS\; dr\; d\theta\; d\varphi\; \sin \theta\cos\theta \end{align}$

である．本の表式は $d\Omega=\sin\theta d\theta\, d\varphi$ とし， $dS$ で割って単位体積あたりのエネルギーにしたものである．

本の図は薄くて見づらい．おそらくこのような感じになる．

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$\Delta(uV)$ の式の右辺に $d\lambda$ が落ちている． $\theta$ の積分は0から $\pi/2$ までである．(13.20) がわからず少し悩んだが，断熱変化なので $T^3 V$ が一定であることを忘れていた．

P395，回転半径は

$\begin{align} \dot{r}&=\frac{2r^2}{GM_\odot m}\dot{\varepsilon}=-\frac{2r^2}{GM_\odot m}\frac{v^2 F}{c} =-\frac{2r^2}{GM_\odot m}\frac{GM_\odot \pi a^2 R_\odot^2 P_\odot}{c^2r^3} \\ &= -\frac{2\pi a^2 R_\odot^2 P_\odot}{mc^2r} = -\frac{3R^2_\odot P_\odot}{2c^2\varrho a r},\quad \varrho=\frac{m}{4\pi a^3/3} \end{align}$

による．