電磁気学の基礎 II （その11） 13.12, 13.13, 13.14

　13.12節．電子の平均移動速度が遅くても電流が光速で伝わる理由．真空のインピーダンスは 377Ω．

　P410, $V=e^{-\kappa z}f(z-ct)$ を(13.51)に代入すると

$\begin{align} (1-c^2 LC)f'' - (2\kappa-c(RC+KL))f'+(\kappa^2-KR)f=0 \end{align}$

になる．これが恒等的に満たされる条件から $c, \kappa$ の条件式を得る．

　P410下から2番目の式で， $z\to\infty$ で発散するのは複号マイナスの解である（まぎらわしい）．プラスの解を採用することで $V$ の式を得る．

　P411． $\mathbf{E}=-\pmb{\nabla}\phi-\dot{\mathbf{A}}$ より， $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=-\nabla^2\phi-\pmb{\nabla}\cdot\dot{\mathbf{A}}$ であり，これにローレンス条件 $\dot{\phi}/c^2+\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}=0$ を使うと $\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=-\nabla^2\phi+\ddot{\phi}/c^2$ となる．最後にポアソン方程式 $\nabla^2\phi=-\varrho/\epsilon_0$ を使うと

$\begin{align} \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\frac{\varrho}{\epsilon_0}+\frac{1}{c^2}\ddot{\phi} \end{align}$

一方， $\nabla^2\mathbf{A}=-\mu_0 \mathbf{J}$ より
$\begin{align} \pmb{\nabla}\times\mathbf{B}= \pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})=\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A})-\nabla^2\mathbf{A} =\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A})+\mu_0 \mathbf{J} \end{align}$

であり，ローレンス条件より

$\begin{align} \pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A})=-\frac{1}{c^2}\pmb{\nabla}\dot{\phi}=\frac{1}{c^2}(\dot{\mathbf{E}}+\ddot{\mathbf{A}}) \end{align}$