電磁気学の基礎 II （その10） 13.9, 13.10, 13.11

　13.9節．(13.36)を求める．

$\begin{align} U &= \int dV \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{x},t)^2+\frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}(\mathbf{x},t)^2 \right\} \\ &= \frac{1}{V^2}\int dV \sum_{\mathbf{k},\mathbf{l}} \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{k},t)\cdot\mathbf{E}(\mathbf{l},t) + \frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}(\mathbf{k},t)\cdot\mathbf{B}(\mathbf{l},t) \right\} e^{i(\mathbf{k}+\mathbf{l})\cdot\mathbf{x}} \\ &= \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 \mathbf{E}(\mathbf{k},t)\cdot\mathbf{E}(-\mathbf{k},t) + \frac{1}{2\mu_0}\mathbf{B}(\mathbf{k},t)\cdot\mathbf{B}(-\mathbf{k},t) \right\} \\ &= \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \sum_{\lambda,\lambda'} \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 E_\lambda(\mathbf{k},t) E_{\lambda'}(-\mathbf{k},t) + \frac{1}{2\mu_0} B_\lambda(\mathbf{k},t) B_{\lambda'}(-\mathbf{k},t) \right\} \mathbf{e}_\lambda\cdot\mathbf{e}_{\lambda'} \\ &= \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \sum_{\lambda} \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 E_\lambda(\mathbf{k},t) E_{\lambda}(-\mathbf{k},t) + \frac{1}{2\mu_0} B_\lambda(\mathbf{k},t) B_{\lambda}(-\mathbf{k},t) \right\} \\ &= \frac{1}{V} \sum_{\mathbf{k}} \sum_{\lambda} \left\{ \frac{1}{2}\epsilon_0 E_\lambda(\mathbf{k},t) E_{\lambda}(-\mathbf{k},t) + \frac{k^2}{2\mu_0} A_\lambda(\mathbf{k},t) A_{\lambda}(-\mathbf{k},t) \right\} \\ &= \frac{\epsilon_0}{2V} \sum_{\mathbf{k}} \sum_{\lambda} \left\{ E_\lambda(\mathbf{k},t) E_{\lambda}(-\mathbf{k},t) + \omega^2 A_\lambda(\mathbf{k},t) A_{\lambda}(-\mathbf{k},t) \right\} \\ &= \frac{\epsilon_0}{2V} \sum_{\mathbf{k}} \sum_{\lambda} \left\{ |E_\lambda(\mathbf{k},t)|^2 + \omega^2 |A_\lambda(\mathbf{k},t)|^2 \right\} \end{align}$

最後の等式で

$\begin{align} E_\lambda(-\mathbf{k},t)=i\omega\{\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t)-\alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) \} = E_\lambda^*(\mathbf{k},t) \end{align}$

$\begin{align} A_\lambda(-\mathbf{k},t)=\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t)+\alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) = A_\lambda^*(\mathbf{k},t) \end{align}$

を使った．さらに

$\begin{align} |E_\lambda(\mathbf{k},t)|^2 &= \omega^2 \{ \alpha_\lambda(\mathbf{k},t)-\alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \} \{ \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t)-\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) \} \\ &= \omega^2 \{ \alpha_\lambda(\mathbf{k},t) \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) + \alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) \\ &\ - \alpha_\lambda(\mathbf{k},t)\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) - \alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) \} \end{align}$

$\begin{align} \omega^2 |A_\lambda(\mathbf{k},t)|^2 &= \omega^2 \{ \alpha_\lambda(\mathbf{k},t)+\alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \} \{ \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t)+\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) \} \\ &= \omega^2 \{ \alpha_\lambda(\mathbf{k},t) \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) + \alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) \\ &\ + \alpha_\lambda(\mathbf{k},t)\alpha_\lambda(-\mathbf{k},t) + \alpha_\lambda^*(-\mathbf{k},t) \alpha_\lambda^*(\mathbf{k},t) \} \end{align}$

によって(13.36)第2式を得る．運動量や角運動量も同様な計算で得られる．

　後半． $a(k)=\theta(k) f(k) e^{-ikz_0}$ のとき， $a^*(k)=\theta(k) f(-k) e^{ikz_0}$ である． P404の $\alpha(\mathbf{k})$ に対し， $f(\mathbf{k})$ が鋭いピークを持つことから，

$\begin{align} \alpha(\mathbf{k})=(\mathbf{e}_x\pm i\mathbf{e}_y) f(\mathbf{k})e^{-ik_0 z_0},\quad |\alpha(\mathbf{k})|^2= 2 |f(\mathbf{k})|^2 \end{align}$

と近似できる．これから $U$ を得る．

　13.10節．自由空間の電磁場は2自由度なので，2個のスカラー関数だけで電磁場を表現できる．ホイッタカーポテンシャルを検索したが見つからない．他の電磁気学の本には載っていないのかもしれない．

　13.11節．このポテンシャルも日本語の検索では他の本に引っかからない．英語で検索すると，1962年出版の Encyclopedia of Physics vol.IV, (Springer) に掲載されていることがわかる．そこにブロムウィッチが1899年までに導いていたと書かれている．

ミー表示のベクトルポテンシャルによって

$\begin{align} \mathbf{E} &= -\dot{\mathbf{A}}=-\mathbf{L}\dot\psi -\pmb{\nabla}\times\mathbf{L}\dot\chi \\\\ \mathbf{B}&=\pmb{\nabla}\times\mathbf{A}= \pmb{\nabla}\times\mathbf{L}\psi+\pmb{\nabla}\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{L}\chi-\nabla^2\mathbf{L}\chi = \pmb{\nabla}\times\mathbf{L}\psi - \frac{1}{c^2}\mathbf{L}\ddot\chi \end{align}$

となるので $\Pi_e=-i\dot\chi,\ \Pi_m=i\psi$ とすることで(13.44)になる．

　トロイダルやポロイダル成分というのは初めて聞いた．