電磁気学の基礎 II （その30） 16.6.2, 16.6.3, 16.6.4, 16.6.5

　16.6.2節．無限自由度をもつ場の変分原理．ラングランジュ関数をラグランジュ密度関数にする．オイラー・ラグランジュ方程式やハミルトンの正準方程式の形は有限自由度の場合と同じような形になる．

　16.6.3節． $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ と $E^2-c^2B^2$ の不変性

$\begin{align} \mathbf{E}'\cdot\mathbf{B}' &= \mathbf{E}_\parallel\cdot\mathbf{B}_\parallel +\gamma^2 (\mathbf{E}_\perp+\mathbf{u}\times\mathbf{B}_\perp)\cdot\left(\mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{u}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right) \\ &= \mathbf{E}_\parallel\cdot\mathbf{B}_\parallel + \gamma^2 (1-\beta^2)\mathbf{E}_\perp\cdot\mathbf{B}_\perp \\ &= \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} \end{align}$

$\begin{align} E'^2-c^2B'^2 &= \left\{\mathbf{E}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{E}_\perp+\mathbf{v}\times\mathbf{B}_\perp\right)\right\}^2 -c^2 \left\{ \mathbf{B}_\parallel+\gamma\left(\mathbf{B}_\perp-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}_\perp}{c^2}\right)\right\}^2 \\ &= E_\parallel^2 + \gamma^2 \left( E_\perp^2 -2\mathbf{v}\cdot \mathbf{E}_\perp\times\mathbf{B}_\perp + v^2 B_\perp^2\right) \\ &\ -c^2 B_\parallel^2 -c^2 \gamma^2\left( B_\perp^2 -\frac{2}{c^2} \mathbf{v}\cdot\mathbf{E}_\perp\times\mathbf{B}_\perp+\frac{v^2}{c^4}E_\perp^2\right)\\ &= E_\parallel^2 -c^2 B_\parallel^2 +\gamma^2(1-\beta^2)(E_\perp^2-c^2 B_\perp^2 ) \\ &= E^2-c^2B^2 \end{align}$

　 $A_x$ に関するオイラー・ラグランジアン方程式の計算はやや複雑である．

$\begin{align} (\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})^2=\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}\partial_j A_k \partial_m A_n = \partial_j A_k \partial_j A_k - \partial_j A_k \partial_k A_j \end{align}$

なので、これを $\partial_i A_m$ で微分すると、 $2(\partial_i A_m-\partial_m A_i)$ となる。

$\begin{align} \partial_i\frac{\partial}{\partial(\partial_i A_m)}(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})^2 =2(\nabla^2 A_m -\partial_m \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{A}) =-2\{\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})\}_m \end{align}$

これから、

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{A}_m}+\partial_i\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_iA_m)} -\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial A_m} &= \epsilon_0(\pmb{\nabla}\phi+\dot{\mathbf{A}})_m+\frac{1}{\mu_0} \{\pmb{\nabla}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})\}_m-J_m \\ &= \frac{1}{\mu_0}(\pmb{\nabla}\times\mathbf{B})_m-\epsilon_0\frac{\partial E_m}{\partial t}-J_m=0 \end{align}$

となり、アンペール-マクスウェルの法則を得る。

　16.6.4節．変分のしかたは前節と同じ．電位の共役運動量は0である．ハミルトン関数密度は電磁場のエネルギー密度と，電磁場と電流の相互作用エネルギーの和になる．電位を含む項はガウスの法則によって消えてしまう．

　15.6.5節．粒子の位置 $\mathbf{r}$ に共役な運動量は

$\begin{align} \mathbf{p}= \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \end{align}$

なので，

$\begin{align} \mathbf{v}=\frac{c\mathbf{p}}{p^2+m^2c^2} \end{align}$

となり，ハミルトニアンは

$\begin{align} H=\mathbf{p}\cdot\mathbf{v}-L_0 =mv^2\gamma+\frac{mc^2}{\gamma}=mc^2\gamma=c\sqrt{p^2+m^2c^2} \end{align}$

になる．

　P518の $\mathbf{p}$ の運動方程式は

$\begin{align} \dot{\mathbf{p}} &= \frac{cq\pmb{\nabla}\mathbf{A}\cdot(\mathbf{p}-q\mathbf{A})} {\sqrt{(\mathbf{p}-q\mathbf{A})^2+m^2c^2}}-q\pmb{\nabla}\phi \\ &= q(\pmb{\nabla}\mathbf{A})\cdot\mathbf{v}-q\pmb{\nabla}\phi \\ &= q\mathbf{v}\times(\pmb{\nabla}\times\mathbf{A})+q\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla}\mathbf{A} -q\pmb{\nabla}\phi\\ &= q(\mathbf{E}+\mathbf{v}\times\mathbf{B})+q\frac{d\mathbf{A}}{dt} \end{align}$

である．ここで $H$ のなかで $\mathbf{r}$ によるのは最初の2項であること，および(16.3)式を使った．