電磁気学の基礎 II (その29) 16.1, 16.2, 16.3, 16.4, 16.5, 16.6.1

電磁気学の基礎 II」太田浩一 著 (シュプリンガージャパン) の読書メモ

 

 16.1節.電磁場を無限自由度の力学変数とみなして,物質と統一的に扱う.それには解析力学が便利.


 16.2節.ハミルトンの原理.ローレンツ力をを受ける荷電粒子に対するラグランジュ関数の導出.位置エネルギー V=q\phi - q\mathbf{v}\cdot\mathbf{A} であるということだが,ゲージ変換との関係はどうなっているのだろうか.


 16.3節.解析力学の基本である,オイラー-ラグランジュ方程式の導出.


 16.4節.ルジャンドル変換.何気に重要な変換だが,数学で学んだ覚えがない.凸性の条件が重要.


 16.5節.ハミルトンの正準方程式,ハミルトン-ヤコービ方程式,ローレンツ力に対するハミルトン関数.解析力学の要点を駆け足で説明.


 16.6.1節.トムソンの原理に続いて最小発熱の原理が紹介されているが,まずガウスの法則を仮定せずに電場のエネルギーを考えたほうがわかりやすい. \mathbf{E}'=\mathbf{E}+\delta \mathbf{E} とし, \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=0 ,  \pmb{\nabla}\cdot\delta\mathbf{E}\neq 0 とする. \mathbf{E}' の持つエネルギーと \mathbf{E} の持つエネルギーの差はP510の  \delta U と同じ形になる.右辺第1項は


 \begin{align}
  \epsilon_0 \int dV \mathbf{E}\cdot\delta\mathbf{E}&=-\epsilon_0\int dV\mathbf{E}\cdot\pmb{\nabla} \delta\phi
  =-\epsilon_0\int dV\{\pmb{\nabla}\cdot(\delta\phi\mathbf{E})-\delta\phi\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}\} \\
  &= -\epsilon_0\int dV \pmb{\nabla}\cdot(\delta\phi\mathbf{E}) \\
  &= \epsilon_0\oint dS\delta\phi\mathbf{n}\cdot\mathbf{E} = \epsilon_0 \delta\phi(S) \oint \mathbf{n}\cdot\mathbf{E} \\
  &= \epsilon_0 \delta\phi(S) \int dV \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E} = 0
\end{align}


となる.これから \delta U の最小値は  \delta \mathbf{E}=0 のとき,すなわち \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=0 が結論される.さらに, \mathbf{J}=g\mathbf{E},  P=\int dV \mathbf{J}\cdot\mathbf{E}=(g/\epsilon_0)U であるから, \mathbf{E}=-\pmb{\nabla}\phi のもとで P を最小にすると \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{J}=0 が得られる.


  \mathbf{E} \phi が独立変数であるとき


 \begin{align}
  U = \int dV \left(\frac{1}{2}\epsilon_0 E^2 + \varrho\phi+\epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\pmb{\nabla}\phi\right)
\end{align}


の変化は


 \begin{align}
  \delta U &= \int dV \left( \epsilon_0 \mathbf{E}\cdot\delta \mathbf{E} + \frac{\epsilon_0}{2} (\delta\mathbf{E})^2
  +\varrho\delta\phi +\epsilon_0 \delta\mathbf{E}\cdot\pmb{\nabla}\phi+\epsilon_0 \mathbf{E}\pmb{\nabla}\cdot\delta\phi\right) \\
  &= \int dV \left( \epsilon_0 \delta\mathbf{E}\cdot(\mathbf{E}+\pmb{\nabla}\phi)
  +\delta\phi(\rho-\epsilon_0\pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}) \right)
\end{align}


となる.ここで表面項を落とし,(\delta\mathbf{E})^2 項を高次の微小量として落とした.これから \delta U=0 となるのは \pmb{\nabla}\cdot\mathbf{E}=\varrho/\epsilon_0, \mathbf{E}=-\pmb{\nabla}\phi であることがわかる.ただし \delta U=0 は停留値条件であって U の最小値かどうかはわからない.最小値であるためには UE\phi に関して下に凸である必要がある.最小値であることが示せる方法があるのかわからない.