電磁気学の基礎 II （その44） 18.8

　(18.29)にその下の $\mathbf{E}, \mathbf{v}$ を代入すると

$\begin{align} v_{0x} &= -\frac{e}{m\omega(1-\omega_c^2/\omega^2)}\left( i E_{0x}+\frac{\omega_c E_{0y}}{\omega}\right)\\ v_{0y} &= -\frac{e}{m\omega(1-\omega_c^2/\omega^2)}\left( i E_{0y}-\frac{\omega_c E_{0x}}{\omega}\right) \\ v_{0z}&=-\frac{ieE_{0z}}{m\omega} \end{align}$

が得られ， $\mathbf{J}=-Ne\mathbf{v}$ により $\mathbf{J}$ も得られる． $x, y, z$ を1,2,3で表し， $J_i = g_{ij} E_j$ から， $g_{ij}$ はP589の最初の式になる．また(18.28)から電場はP589の2番目の式のようになる．この式が $E_j=0$ ではない非自明な解をもつためには $E_j$ の係数行列式が0にならなければならない． $\mathbf{k}=(k\sin\theta, 0, k\cos\theta)$ とすると，左辺の係数行列は

$\begin{align} \begin{pmatrix} -\omega^2/c^2+k^2 \cos^2\theta & 0 & -k^2 \sin\theta \cos\theta \\ 0 & -\omega^2/c^2+k^2 & 0 \\ -k^2 \sin\theta \cos\theta & 0 & -\omega^2/c^2+k^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} \end{align}$

となる． $k=n \omega/c$ を入れると

$\begin{align} \frac{\omega^2}{c^2} \begin{pmatrix} -1+n^2 \cos^2\theta & 0 & -n^2 \sin\theta \cos\theta \\ 0 & -1+n^2 & 0 \\ -n^2 \sin\theta \cos\theta & 0 & -1+n^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} \end{align}$

である．右辺は

$\begin{align} (i\omega\mu_0)\cdot \frac{iNe^2 }{m\omega(1-\omega_c^2/\omega^2)} &=- \frac{Ne^2 \mu_0}{m(1-\omega_c^2/\omega^2)} \\ &= - \frac{Ne^2 \mu_0\epsilon_0}{m\epsilon_0(1-\omega_c^2/\omega^2)} \\ &= - \frac{\omega_P^2}{c^2(1-\omega_c^2/\omega^2)} \end{align}$

を使うと

$\begin{align} -\frac{\omega_P^2}{c^2(1-\omega_c^2/\omega^2)} \begin{pmatrix} 1 & {-\mathrm{i} \omega_{\mathrm{c}} / \omega} & {0} \\ {\mathrm{i} \omega_{\mathrm{c}} / \omega} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1-\omega_{\mathrm{c}}^{2} / \omega^{2}} \end{pmatrix} \end{align}$

となる．これより，左辺ー右辺の行列式を計算すればよい．全体を $\omega^2/c^2$ で割り，見やすくするために $\omega_P/\omega \to \omega_P, \omega_c/\omega\to \omega_c$ とすると

$\begin{align} &\ \begin{pmatrix} -1+n^2 \cos^2\theta & 0 & -n^2 \sin\theta \cos\theta \\ 0 & -1+n^2 & 0 \\ -n^2 \sin\theta \cos\theta & 0 & -1+n^2 \sin^2\theta \end{pmatrix} + \frac{\omega_P^2}{1-\omega_c^2} \left(\begin{array}{ccc}{1} & {-\mathrm{i} \omega_{\mathrm{c}} } & {0} \\ {\mathrm{i} \omega_{\mathrm{c}} } & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1-\omega_{\mathrm{c}}^{2}}\end{array}\right) \end{align}$

となる．これから行列式は

$\begin{align} & \frac{1}{2(\omega_c^2-1)} \bigg[ -2(n^2-1)^2(\omega_c^2-1) +\omega_P^2 (n^2-1)( (n^2-2)\omega_c^2 -2n^2 + 6) \\ &\ +2\omega_P^4(-2n^2+3) - 2\omega_P^6 + n^2(n^2-1) \omega_c^2 \omega_P^2 \cos 2\theta\bigg] \end{align}$

となり，これが 0 になる $n$ を求めればよいが，このまま計算すると汚い形になる．そこで $n_\pm^2$ の表式をよく見ると， $1/(n_\pm^2-1)$ が2次方程式の解の形になっていることがわかるので，その形になるように $x=n^2-1$ ，さらに $y=1/x$ とおくと

$\begin{align} \omega_c^2 (\omega_P^2 - \omega_c^2 y -2) - 2(\omega_P^2 -1)(\omega_P^2 y+1)^2 + \omega_c^2 \omega_P^2 (y+1) \cos2\theta =0 \end{align}$

となる．これを解くと

$\begin{align} y= -\frac{ 1- \omega_P^2-(\omega_c^2/2) \sin^2\theta \pm \omega_c \sqrt{(\omega_c^2/4) \sin^4\theta + (1-\omega_P^2)^2 \cos^2\theta}} {\omega_P^2 (1-\omega_P^2)} \end{align}$

となるので， $n^2$ の形に戻すとアプルトン-ハートリーの公式を得る．

　磁場が弱いとして $n_\pm=n\mp (\omega_c/2)\partial n/\partial \omega$ とおくと，18.4節の $n_\pm$ で $(\mu/2)(\alpha+\beta)c\omega \to - (\omega_c/2)\partial n/\partial \omega$ と置き換えたものになっているので，18.4節の $\theta$ は

$\begin{align} \theta = \frac{\omega}{2c}(n_+ - n_-)l \cong - \frac{\omega_c\omega l}{2c}\frac{\partial n}{\partial \omega} = - \frac{e\omega l B}{2mc} \frac{\partial n}{\partial \omega} = -\gamma lB \end{align}$

と置き換わる．

　 $\mathbf{v}$ はベクトルで表すと

$\begin{align} \mathbf{v}=-\frac{e}{m\omega(1-\omega_c^2/\omega^2)} \left( i\mathbf{E} +\frac{e}{m\omega} \mathbf{E}\times\mathbf{B} \right) \end{align}$

である．

　(18.30) は $\mathbf{P}=i\dot{\mathbf{P}}/\omega=-iNe\mathbf{v}/\omega$ を使って

$\begin{align} \mathbf{D} &= \epsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} \\ &= \epsilon_0 \mathbf{E} - \frac{iNe}{\omega}\mathbf{v} \\ &= \epsilon_0 \mathbf{E} - \frac{Ne^2}{m\omega^2}\mathbf{E} +\frac{i Ne^3}{m^2 \omega^3} \mathbf{E}\times\mathbf{B} \\ &= \epsilon_0 \mathbf{E} - \epsilon_0 \frac{\omega_P^2}{\omega^2} \mathbf{E} -\frac{i Ne^3}{m^2 \omega^3} \mathbf{B}\times\mathbf{E} \\ &= \epsilon_0 \left(1-\frac{\omega_P^2}{\omega^2}\right) \mathbf{E} - i\gamma \mathbf{B}\times\mathbf{E} \\ &= \epsilon \mathbf{E} - i\gamma \mathbf{B}\times\mathbf{E} \end{align}$

と得られる． $\gamma$ の式で分子に $N$ が抜けている．

　ミュージカル「キャッツ」の "Journey to the Heaviside Layer" を取り上げているが，日本語では「天上への旅」となり，ヘヴィサイド層というセリフはない．