電磁気学の基礎 I （その40） 10.1, 10.2

　10.1節．P234の一番下，原子数 $Z$ は電子数か陽子数ではないだろうか．(10.3)の $\langle r^2 \rangle$ の定義が不明だが，左の式を計算すると

$\begin{align} \frac{1}{2}\int dV \varrho_e \mathbf{z}\times(\pmb{\omega}_{\rm L}\times\mathbf{z}) &= \frac{\pmb{\omega}_{\rm L}}{2}\int dV \varrho_e r^2 (1-\cos^2\theta) \\ &= \frac{2\pi e\mathbf{B}}{3m} \int_0^\infty dr \varrho_{\rm e}(\rho) r^4 \\ \end{align}$ ]

となるので

$\begin{align} \langle r^2 \rangle = -\frac{4\pi}{Ze}\int_0^\infty dr\, r^4\varrho_{\rm e}(r) \end{align}$

と考えられる．

　次は統計平均を計算する．

$\begin{align} \exp\left\{ -\frac{\varepsilon}{k_B T}\right\} &\cong \exp\left\{ -\frac{\varepsilon_0+e\mathbf{p}\cdot{\mathbf{A}}/m}{k_B T}\right\} \\ &\cong \exp\left\{ -\frac{\varepsilon_0}{k_B T}\right\} \left(1-\frac{e}{m k_B T}\mathbf{p}\cdot\mathbf{A}\right) \end{align}$

によって分布関数を展開したものが $f(\mathbf{z}, \mathbf{p})=\cdots$ で始まる式である．

$\begin{align} \mathbf{p}\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{2}\mathbf{p}\cdot(\mathbf{B}\times \mathbf{z}) =\frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot(\mathbf{z}\times\mathbf{p})=\frac{1}{2}\mathbf{B}\cdot\mathbf{l} \end{align}$

を使うと

$\begin{align} \langle \mathbf{m}' \rangle &= -\frac{e}{2m}\langle\mathbf{l}\rangle \\ &= \frac{e}{2m} \frac{e}{m k_B T}\frac{1}{2} \frac{1}{Z(t)}\int d\Gamma \mathbf{l} \mathbf{B}\cdot\mathbf{l} e^{-\beta\varepsilon_0} \\ &= \frac{e^2}{4m^2 k_B T}\frac{1}{Z(t)}\int d\Gamma \mathbf{l} \mathbf{B}\cdot\mathbf{l} e^{-\beta\varepsilon_0} \end{align}$

となる．ここで $\beta=1/k_BT$ とした． $\Gamma$ は $\mathbf{z}, \mathbf{p}$ の6次元積分である． $\mathbf{B}$ を $z$ 軸方向とする．積分が0にならないのは $\mathbf{m}'$ も $z$ 軸に向くときで，被積分関数は $Bl_z^2=B(xp_y-yp_x)^2$ である．まず $\mathbf{z}$ の角度積分を行う．

$\begin{align} \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta (p_y \sin\theta\cos\phi-p_x\sin\theta\sin\phi)^2 =\frac{4\pi}{3}(p_x^2+p_y^2)\end{align}$

次に $\mathbf{p}$ の角度積分を行う． $p_x^2+p_y^2=p^2\sin^2\theta$ であるから

$\begin{align} \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi d\theta \sin\theta \sin^2\theta = \frac{8\pi}{3} \end{align}$

となる． $p^2$ の動径積分と対応する $Z(T)$ の動径積分の比を求める．

$\begin{align} \frac{\displaystyle \int_0^\infty dp p^4 e^{-\beta \varepsilon_0} }{\displaystyle \int_0^\infty dp p^2 e^{-\beta \varepsilon_0}} =\frac{3}{2}(2mk_B T) \end{align}$

以上をまとめると

$\begin{align} \frac{e^2}{4m^2 k_B T} \frac{4\pi}{3} \frac{8\pi}{3} \frac{1}{(4\pi)^2} \frac{3}{2}(2mk_BT) = \frac{e^2}{6m} \end{align}$

となる．よって

$\begin{align} \langle \mathbf{m}'\rangle = \frac{Ze^2}{6m}\langle r^2 \rangle \mathbf{B} \end{align}$

$\begin{align} \langle r^2 \rangle = \frac{\displaystyle \int_0^\infty dr\, r^4 e^{-\beta\varepsilon_0}}{Z \displaystyle \int_0^\infty dr\, r^2 e^{-\beta\varepsilon_0}} \end{align}$

となる．

　10.2節．P237，磁気モーメントの $z$ 成分の平均値は

$\begin{align} \langle m_z \rangle &= \frac{\displaystyle \int_0^\pi d\theta \sin\theta (m\cos\theta) e^{mB\cos\theta/k_BT}} {\displaystyle\int_0^\pi d\theta \sin\theta e^{mB\cos\theta/k_BT}} \\ &= \frac{\displaystyle m\int_{-1}^1 dt t e^{\alpha t}} {\displaystyle\int_{-1}^1 dt e^{\alpha t}} \qquad (t=\cos\theta, \alpha = mB/(k_B T) )\\ &= mL(\alpha),\quad L(x)=\coth x-\frac{1}{x} \end{align}$

によりランジュバン関数になる．

　P238， $T > T_c$ で $B, M$ を微小量とすると， $\tanh(x)\cong x$ を(10.8)に使って

$\begin{align} M&\cong Nm^2 \frac{B+\lambda M}{k_BT} \cong \frac{Nm^2B}{k_BT}\left(1+\lambda \frac{Nm^2}{k_BT}\right) = \frac{C B}{\mu_0 T}\left(1+\frac{T_c}{T}\right) \\ &\cong \frac{C B}{\mu_0 T} \left(1-\frac{T_c}{T}\right)^{-1}=\frac{C}{T-T_c}\frac{B}{\mu_0} \end{align}$

となる．