電磁気学の基礎 I （その30） 7.7.1, 7.7.2, 7.7.3

　7.7.1節．「有理化電流要素」によって，電流要素のつくる磁場をビオー・サヴァールの法則で計算したものが正当化される．7.2節で言及されていた作用反作用の法則はどうなるのだろうか．

　直線電流のつくる磁場は積分(2.9)を，ベクトルポテンシャルは(3.13)を使えば得られる．半無限，無限長の電流の場合も2.3.1節で計算した方法で得られる．無限遠の電流は磁場に効かないので，無限長の直線電流は無限遠でループををつくっているとみなせる．

　7.7.2節．円柱対称の磁場も2.3.2節で使った積分を使えば得られる．直線電流密度が $(I/\pi\rho)\delta(\rho)$ で与えられることは，P60で線電荷密度が同様な形で与えられたのと同様である．円筒電流密度に対する磁場は(2.16)からもわかるように

$\begin{align} B_\varphi(\rho)=\frac{\mu_0 K a}{\rho}\theta(\rho-a) \end{align}$

である．本では階段関数の引数が誤っている．その下のほうにある，「直線電流 $\pi a^2\varrho$ がつくる磁場」も $\pi a^2 J$ の誤り．ベクトルポテンシャルの計算も3.2.2節の計算と同じ．P161の3番目の式が $\phi(\rho)$ になっているが， $A_z(\rho)$ の誤り．

　7.7.3節．(7.34)の計算は(3.23)と同じ．直線電流の重ね合わせでベクトルポテンシャルを計算するには，(7.31)から得られる

$\begin{align}A_\varphi= -\int d\rho B_\varphi(\rho) = \frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\frac{1}{\rho} \end{align}$

を使う． $(0, y',0)$ を通る $x$ 軸に平行な直線電流 $Kdy'$ が観測点 $(0,0,z)$ につくるベクトルポテンシャルは

$\begin{align} A_x(z)=\frac{\mu_0 K}{2\pi} \int_{-l/2}^{l/2} dy' \ln \frac{1}{\sqrt{y'^2+z^2}}\end{align}$

になる．ここで積分にカットオフを入れた．P162の不定積分の式を使うとその下の $A_x(z)$ の式を得る． $l \gg z$ であるから第1項目は $z=0$ としてよい． $\arctan (l/2z) \sim \pi|z|/2z$ を使うとその下の $A_x(z)$ の式を得る．これは定数項を除いて(7.34)に等しい．

　なんだか誤植が増えてきた．