電磁気学の基礎 I （その44） 11.4, 11.5, 11.5.1, 11.5.2, 11.6

　11.4節．磁場中の電子の運動に伴う磁気モーメントは、磁場の変化に対する断熱不変量である．解析力学を知らないと断熱不変量を理解するのは難しい．P269の最初の式の右辺は $ea^2 \omega_0^2/2$ である．

　11.5節．変位電流は磁場をつくらないとくり返し強調。電場や磁場をつくるのは電荷と電流だけである。

　11.5.1節．変位電流密度が時間によらない場合，磁場は(11.16)で計算できる．変位電流が球対称であれば積分によって磁場は0になる．球対称でなくても(11.20)によって磁場は0にある．準定常とは変位電流を無視できることだと思っていたが，ここの定義では $\ddot{\mathbf{B}}$ が無視できる場合らしい．変位電流の時間依存性が無視できない場合には(11.16)に依拠した議論はできない．詳しくは14章でやるらしい．

　11.5.2節．(11.23)の下の式は

$\begin{align} \frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{R}=\frac{\partial \mathbf{z}}{\partial t}\cdot\pmb{\nabla}_{\mathbf{z}}\frac{1}{R} =\mathbf{v}\cdot \pmb{\nabla}_{\mathbf{z}}\frac{1}{R} = -\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla}\frac{1}{R} \end{align}$

によるものと思われる．

　(11.26)式を得るには，まず $-\dot{\mathbf{A}}$ を求めて

$\begin{align} \mathbf{E}^{(2)} &= -\frac{\mu_{0} q}{8 \pi} \left(\frac{\dot{\mathbf{v}} \cdot \mathbf{R} \mathbf{R}}{R^{3}}+\frac{\dot{\mathbf{v}}}{R}\right) + \frac{\mu_{0} q}{8 \pi} (\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla}) \left(\frac{\mathbf{v} \cdot \mathbf{R} \mathbf{R}}{R^{3}}+\frac{\mathbf{v}}{R}\right) \end{align}$

とする． $\mathbf{R}$ の微分を順次計算していくと

$\begin{align} &\ (\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla})\frac{\mathbf{v}}{R}=-\frac{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{R})\mathbf{v}}{R^3} \\\\ &\ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{R})\mathbf{R} (\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla})\frac{1}{R^3} =-\frac{3(\mathbf{v}\cdot\mathbf{R})^2 \mathbf{R} }{R^5}\\\\ &\ \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{R}}{R^3} (\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla}) \mathbf{R} =\frac{(\mathbf{v}\cdot\mathbf{R})\mathbf{v}}{R^3} \\\\ &\ \frac{ \mathbf{R}}{R^3} (\mathbf{v}\cdot\pmb{\nabla})\mathbf{v}\cdot\mathbf{R} =\frac{v^2\mathbf{R}}{R^3} \end{align}$

となるので，これらを使えば(11.26)を得る．

　11.6節．ファラデイ（この本ではファラデーではない）の法則をガリレイ変換する．磁場はガリレイ不変を仮定する．K′系の磁場 $\mathbf{B}'(\mathbf{x}', t')$ の時間微分はラグランジュ微分になる．ファラデイの法則はガリレイ不変になるが，電場は(11.31)のように変換しなければならず，磁場とは異なる．