誰が磁場をつくったのか？（その１）

電磁気学一般

　グリフィスの電磁気学の本に面白い問題があった．元ネタは


D.J. グリフィス（著），溝田節生・坂田英明・二国徹郎・徳永英司（訳）「グリフィス　電磁気学 I」，丸善出版（2019）


の問題7.35である．


　アンペール・マクスウェルの法則


\begin{align} \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I + \mu_0 \epsilon_0 \int \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\cdot d\mathbf{S} \end{align}


によれば，電流 I があれば周りに磁場が生じるし，変位電流 \epsilon_0 (\partial \mathbf{E}/\partial t) があっても周りに磁場ができる．（変位電流と区別するため，電流 I を伝導電流と呼ぶことにする．）では，伝導電流と変位電流がともに存在する場合に，どちらが磁場をつくったのかを区別することができるだろうか？


　以下のような平行板コンデンサーを考える．極板は半径 a の円板で，極板間距離を d とする．もちろん d\ll a であるとする．極板の中心に導線がつないであり，導線を通じて電流が極板に流れる状況を考える．すなわちコンデンサーが充電されている状態である．仮定として，極板に蓄積される面電荷密度は一様（場所によらない）とする．

　求めたいのは極板間にできる磁場である．そこで「アンペールループ」として，極板の中心軸を中心とする半径 s の円を考える（図の破線の円）．このループが囲む平面内には伝導電流は存在せず，変位電流のみが存在する．時刻 t で極板に溜まった電荷を Q(t) とすると，面電荷密度は \sigma = Q(t)/\pi a^2 である．また導線の電流を I とすると， Q(t)=It である．これにより極板間の電場は，


\begin{align} \mathbf{E} = \frac{\sigma(t)}{\epsilon_0}\hat{\mathbf{z}} = \frac{It}{\epsilon_0 \pi a^2}\hat{\mathbf{z}} \end{align}


となる． \hat{\mathbf{z}} は極板の中心軸方向の単位ベクトルである．アンペールループが囲む平面を貫く変位電流は


\begin{align} I_d = \epsilon_0 \frac{dE}{dt}(\pi s^2)= I\frac{s^2}{a^2} \end{align}


なので，アンペール・マクスウェルの法則より B(2\pi s) = \mu_0 I_d，すなわち


\begin{align} B=\frac{\mu_0 I s}{2\pi a^2} \end{align}


となる（向きは円周方向）．