電磁気学の基礎 I （その36） 8.11, 8.12, 8.13

　8.11節．導体の位置関係がわからない． $z$ 軸方向に電流が流れていればどんな形状でもいいのだろうか．とにかくベクトルポテンシャルが $A_z(x, y)$ しかないとすると，磁場は

$\begin{align} B_x(x, y)=\frac{\partial A_z}{\partial y}, \ B_y(x, y)=-\frac{\partial A_z}{\partial x}, \ B_z=0 \end{align}$

になる．与えらえた条件で磁場を面積分すると

$\begin{align}\Phi = \int dS\mathbf{n}\cdot\mathbf{B} = \int dS (B_x n_x+B_y n_y)\end{align}$

になる．積分は $z$ 軸に沿っては一定で， $z$ 軸方向は単位長さであるから，AからBへ向かう線積分で書ける．

$\begin{align}\Phi =\int_{\rm A}^{\rm B}ds \left(B_x \frac{dy}{ds}-B_y \frac{dx}{ds}\right)\end{align}$

ここでAからBへ向かう線上の点 $(x(s), y(x))$ の法線ベクトルが $(dy/ds, -dx/ds)$ であることを使った． $s$ を弧長パラメータとみなせばこれは単位ベクトルである．磁場をベクトルポテンシャルで表せばP196の一番下の式になり，P197の一番上の式に変形できる．この考え方でよいのかちょっと自信がない．

　(8.52)は感覚としては理解できるが具体的な計算で示してあるとありがたい．

　8.12節．慣性モーメントと角速度の積が角運動量である．スピン電流や離散的な角運動量など，この節だけで理解するのは難しい．

　8.13節．(8.55)の下の式のように $\pmb{\omega}_0$ を定義すると，(8.55)を各成分で表した運動方程式の $\omega_0$ がすべて逆符号である．しかたがないので

$\begin{align} \dot{\mathbf{s}}=-\pmb{\omega}_0\times\mathbf{s},\quad \pmb{\omega}_0=\gamma\mathbf{B}_0\end{align}$

と定義しなおすことにする．そうすると $\dot{\mathbf{s}}=-(\pmb{\omega}_0 +\gamma \mathbf{B}_1)\times \mathbf{s}$ の各成分としてP201中ほどの式が得られる．(8.56)を得るにはその上の式を $s'_x, s'_y$ などについて解き，それらを時間微分して $\dot{s}_x$ などには運動方程式を使えばよい．P202の式は

$\begin{align} s_z' &= \frac{\dot{s}_y'+(\omega_0-\omega_1)s_x'}{\gamma B_1} \\ &= \frac{A}{\gamma B_1}\left(-\omega+\frac{(\omega_0-\omega_1)^2}{\omega}\right)\cos(\omega t+\alpha) +\frac{\omega_0-\omega_1}{\gamma B_1}C \\ &= -\frac{\gamma B_1}{\omega} A\cos(\omega t+\alpha) +\frac{\omega_0-\omega_1}{\gamma B_1}C \end{align}$

によって得られる．